Калькулятор длины хорды

Что такое калькулятор длины хорды?

Хорда — это отрезок прямой, оба конца которого лежат на окружности. Самая длинная хорда окружности — её диаметр; любая другая хорда короче и «опирается» на некоторый центральный угол — угол, образованный в центре двумя радиусами, проведёнными к концам хорды.

Этот калькулятор находит любую из трёх величин — длину хорды, радиус или центральный угол — когда известны две другие. Угол можно вводить в градусах или радианах, а радиус и хорду — в любых распространённых единицах длины.

Основные понятия

• Радиус (r) — расстояние от центра круга до любой точки на его границе.
• Центральный угол (θ) — угол, образованный в центре круга двумя радиусами, проведёнными к концам хорды.
• Хорда (c) — расстояние по прямой между двумя концами дуги, пересекающее круг, а не следующее по его кривой.
• Диаметр — особый случай хорды, проходящей через центр. Её длина равна $2r$, и она соответствует центральному углу 180°.

Хорда и длина дуги описывают одну и ту же пару точек с двух разных позиций: хорда — это прямой путь напрямую, дуга — это путь вдоль окружности.

Как работает калькулятор?

Хорда, два радиуса, проведённые к её концам, и перпендикуляр, опущенный из центра, образуют два равных прямоугольных треугольника. Половина хорды, радиус и половина центрального угла удовлетворяют соотношению

$$\sin\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right) = \frac{c/2}{r}$$

которое преобразуется в формулы, используемые калькулятором.

Формулы

Хорда по радиусу и центральному углу:

$$c = 2 r \sin\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)$$

Радиус по хорде и центральному углу:

$$r = \frac{c}{2 \sin\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)}$$

Центральный угол по хорде и радиусу:

$$\theta = 2 \arcsin\!\left(\frac{c}{2r}\right)$$

В градусах замените $\theta$ на $\theta_{\text{deg}} \cdot \frac{\pi}{180}$ или считайте угол непосредственно с калькулятора после переключения единиц измерения.

Примеры вычисления

Пример 1: хорда по радиусу и углу

Круг имеет радиус 10 см и центральный угол 60°. Хорда, определяемая этим углом, равна

$$c = 2 \cdot 10 \cdot \sin(30°) = 2 \cdot 10 \cdot 0.5 = 10 \text{ см}$$

Это известное тождество, согласно которому хорда угла 60° равна радиусу — образованный треугольник является равносторонним.

Пример 2: хорда равна диаметру при 180°

При радиусе 5 м и центральном угле 180° (или $\pi$ радиан) хорда тянется через весь круг:

$$c = 2 \cdot 5 \cdot \sin(90°) = 10 \text{ м}$$

Это диаметр круга.

Пример 3: радиус по хорде и углу

Хорда длиной 10 см определяется центральным углом 60°. Радиус круга равен

$$r = \frac{10}{2 \sin(30°)} = \frac{10}{1} = 10 \text{ см}$$

Пример 4: угол по хорде и радиусу

Хорда длиной 10 см проведена в круге радиусом 10 см. Центральный угол равен

$$\theta = 2 \arcsin\!\left(\frac{10}{20}\right) = 2 \cdot 30° = 60°$$

Пример 5: хорда четверти круга

Для угла 90° на круге радиусом 1 хорда равна $c = 2 \sin(45°) = \sqrt{2} \approx 1.4142$, тогда как длина дуги того же угла равна $\pi/2 \approx 1.5708$. Дуга всегда немного длиннее хорды.

Практическое применение

• Инженерия — расчёт ремней и шкивов, где расстояние по прямой между точками контакта на двух колёсах является хордой каждого колеса.
• Архитектура и столярное дело — измерение пролёта арки или изогнутого окна, где хорда даёт пролёт, а длина дуги — количество материала, необходимого вдоль кривой.
• Геодезия — определение положений на местности по круглым опорным точкам; измерения по хорде проще наносить, чем по дугам.
• Астрономия — вычисление видимого диаметра удалённых тел, где хорда поперёк круглого сечения соответствует наблюдаемой протяжённости.
• Геометрия и тригонометрия — соотношение между хордой и углом является одним из первоначальных определений функции синуса и до сих пор встречается в расчётах сектора круга и сегмента.

Замечания

• Хорда никогда не может быть длиннее диаметра ($c \le 2r$). Если ввести хорду, превышающую эту величину, угол становится неопределённым, и калькулятор не возвращает результат.
• При угле 0° хорда равна 0 — концы совпадают.
• Угол 180° даёт диаметр; углы больше 180° «оборачиваются» и дают ту же хорду, что и их дополнение до 360° (например, 200° и 160° дают одинаковые хорды).
• При нахождении радиуса по хорде и углу угол не может быть равен 0; при нахождении угла радиус не может быть равен 0.
• Единицы измерения радиуса и хорды совпадают: при переключении единиц измерения результат автоматически пересчитывается.