Калькулятор векторного произведения

Что такое калькулятор векторного произведения?

Калькулятор векторного произведения находит вектор, получающийся при умножении двух трёхмерных векторов с помощью векторного произведения. В отличие от скалярного произведения, которое возвращает одно число, векторное произведение возвращает новый вектор. Этот вектор перпендикулярен обоим исходным векторам, а его длина равна площади параллелограмма, который они образуют.

Для двух векторов $\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)$ и $\mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z)$ этот инструмент возвращает три компоненты вектора $\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}$.

Формула

Векторное произведение определяется покомпонентно как:

Таким образом, три выходные компоненты равны:

• $c_x = a_y b_z - a_z b_y$
• $c_y = a_z b_x - a_x b_z$
• $c_z = a_x b_y - a_y b_x$

Как пользоваться

1. Введите три компоненты вектора $\mathbf{a}$: $a_x$, $a_y$ и $a_z$.
2. Введите три компоненты вектора $\mathbf{b}$: $b_x$, $b_y$ и $b_z$.
3. Как только все шесть значений заполнены, калькулятор отображает $c_x$, $c_y$ и $c_z$ — компоненты результирующего вектора $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$.

Отрицательные значения полностью поддерживаются. Порядок имеет значение: $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$, поэтому перестановка двух векторов меняет знак каждой компоненты.

Разобранный пример

Возьмём $\mathbf{a} = (1, 2, 3)$ и $\mathbf{b} = (4, 5, 6)$.

• $c_x = a_y b_z - a_z b_y = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = 12 - 15 = -3$
• $c_y = a_z b_x - a_x b_z = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6 = 12 - 6 = 6$
• $c_z = a_x b_y - a_y b_x = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3$

Таким образом, $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-3, 6, -3)$.

Часто задаваемые вопросы

Почему векторное произведение является вектором, а скалярное — числом?

Скалярное произведение измеряет, насколько два вектора направлены в одну сторону, что является единственной скалярной величиной. Векторное произведение, напротив, измеряет ориентированную площадь, которую они образуют, и указывает в направлении, перпендикулярном обоим, поэтому ему естественно нужны три компоненты, чтобы описать и эту величину, и это направление.

Что означает, если векторное произведение равно нулевому вектору?

Если $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (0, 0, 0)$, то два вектора параллельны (или один из них является нулевым вектором). Параллельные векторы не образуют площади, поэтому перпендикулярный результат вырождается в ничто.