Калькулятор восьмиугольника

Что такое калькулятор восьмиугольника?

Калькулятор восьмиугольника — это единый инструмент, описывающий правильный восьмиугольник: восьмистороннюю фигуру с равными сторонами и равными углами, имеющую тот же контур, что и знак «стоп». Введите одно измерение, и он вернёт все остальные величины сразу: длину стороны, площадь, периметр, три диагонали, радиус описанной окружности и радиус вписанной окружности. Он полезен студентам, проверяющим задачи по геометрии, мастерам, вырезающим восьмиугольную раму или столешницу, и всем, кто проектирует беседку, узор мощения или знак.

Свойства правильного восьмиугольника

Правильный восьмиугольник имеет восемь равных сторон и восемь внутренних углов по 135 градусов каждый. Поскольку восемь вершин расположены не на одинаковом расстоянии друг от друга, восьмиугольник имеет три различные диагонали вместо двух у шестиугольника:

• Длинная диагональ соединяет две противоположные вершины и проходит через центр; это полная ширина фигуры.
• Средняя диагональ соединяет две вершины, между которыми находятся две вершины.
• Короткая диагональ соединяет две вершины, пропуская одну вершину.

Радиус описанной окружности — это расстояние от центра до любого угла, а радиус вписанной окружности (также называемый апофемой) — это расстояние от центра до середины любой стороны.

Как работает калькулятор?

Введите значение в любое поле, и калькулятор сначала восстановит из него длину стороны, а затем заполнит все остальные свойства. Таким образом, вы можете начать со стороны, площади, периметра, любой из трёх диагоналей, радиуса описанной окружности или радиуса вписанной окружности, и всегда получите полное описание восьмиугольника. Каждое поле длины принимает разные единицы, и преобразования между ними происходят автоматически.

Формулы

При длине стороны $a$ площадь правильного восьмиугольника равна:

Периметр в восемь раз больше стороны:

Три диагонали — длинная $D$, средняя $M$ и короткая $d$ — равны:

Радиус описанной окружности $R$ равен половине длинной диагонали, а радиус вписанной окружности $r$ (апофема) равен половине средней диагонали:

где $A$ — площадь, $P$ — периметр, $D$, $M$ и $d$ — длинная, средняя и короткая диагонали, $R$ — радиус описанной окружности, $r$ — радиус вписанной окружности, а $a$ — длина стороны.

Примеры

1. Правильный восьмиугольник со стороной 5 см:

2. Работая в обратную сторону от периметра 40 см, получаем сторону $40 / 8 = 5$ см, что воспроизводит все приведённые выше значения.

Практические замечания

• Длинная диагональ — это полный размах поперёк восьмиугольника с плоскими сторонами, поэтому это диаметр наименьшей окружности, содержащей фигуру; радиус описанной окружности равен ровно её половине.
• Радиус вписанной окружности — это апофема, радиус наибольшей окружности, помещающейся внутри восьмиугольника, и он полезен при подгонке восьмиугольника вокруг круглого объекта.
• Для фигур с другим числом сторон калькулятор площади правильного многоугольника обобщает формулу площади, а калькулятор шестиугольника обрабатывает шестисторонний случай.

Часто задаваемые вопросы

Как найти площадь правильного восьмиугольника?

Возведите длину стороны в квадрат и умножьте на $2\left(1 + \sqrt{2}\right)\approx 4{,}8284$. Для стороны 5 площадь равна $2\left(1 + \sqrt{2}\right)\times 25 \approx 120{,}71$.

В чём разница между тремя диагоналями?

Длинная диагональ соединяет противоположные вершины и проходит через центр, равна $a\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$. Средняя диагональ пропускает две вершины и равна $a\left(1 + \sqrt{2}\right)$. Короткая диагональ пропускает одну вершину и равна $a\sqrt{2 + \sqrt{2}}$.

Что такое апофема восьмиугольника?

Апофема — это радиус вписанной окружности, расстояние от центра до середины стороны. Для правильного восьмиугольника она равна $\frac{a\left(1 + \sqrt{2}\right)}{2}$, примерно 1,207 длины стороны.

Какова ширина правильного восьмиугольника?

Ширина между противоположными сторонами равна удвоенному радиусу вписанной окружности, $a\left(1 + \sqrt{2}\right)$, что также является средней диагональю. Ширина между противоположными углами — это длинная диагональ, $a\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$.