Калькулятор пятиугольника

Что такое калькулятор пятиугольника?

Калькулятор пятиугольника вычисляет геометрию правильного пятиугольника — пятисторонней фигуры с равными сторонами и равными углами — по одному измерению: длине стороны. Введите одну сторону, и калькулятор сразу вернёт площадь, периметр и апофему. Он удобен для учеников, проверяющих домашнее задание по геометрии, для мастеров, размечающих пятистороннюю панель или столешницу, и для всех, кто проектирует узоры с использованием пятиугольника — фигуры, которая встречается повсюду, от футбольных мячей до архитектуры.

Свойства правильного пятиугольника

Правильный пятиугольник имеет пять равных сторон и пять внутренних углов по 108 градусов каждый. Апофема — это расстояние от центра пятиугольника до середины любой стороны; это также радиус наибольшей окружности, которая помещается внутри фигуры. Поскольку каждая сторона имеет одинаковую длину, периметр просто в пять раз больше стороны, а площадь можно выразить непосредственно через сторону с помощью одной константы.

Как это работает?

Введите длину стороны, и калькулятор заполнит остальное. Периметр в пять раз больше стороны. Площадь использует точную константу для правильного пятиугольника, а апофема использует константу, связывающую расстояние от центра до края со стороной. Все три результата обновляются мгновенно при изменении стороны.

Формулы

При длине стороны $s$ периметр правильного пятиугольника в пять раз больше стороны:

Площадь задаётся точной формулой:

Константа $\frac{1}{4}\sqrt{5\left(5 + 2\sqrt{5}\right)} \approx 1.72048$, поэтому площадь составляет примерно $1.72048\,s^2$.

Апофема (от центра до середины стороны) равна:

Множитель $\frac{1}{2\tan(36^\circ)} \approx 0.68819$, поэтому апофема составляет около $0.68819\,s$.

Здесь $P$ — периметр, $A$ — площадь, $a$ — апофема, а $s$ — длина стороны.

Примеры

1. Правильный пятиугольник со стороной 1 единица:

2. Правильный пятиугольник со стороной 6 единиц:

Практические замечания

• Апофема полезна, когда нужно найти площадь как $A = \tfrac{1}{2} \times P \times a$ — формулу, которая работает для любого правильного многоугольника.
• Пятиугольник не замощает плоскость в одиночку, в отличие от правильного шестиугольника — см. калькулятор шестиугольника для шестисторонней фигуры, которая на это способна.
• Для других правильных фигур калькулятор равностороннего треугольника и калькулятор площади круга обрабатывают трёхсторонний и круглый случаи.

Часто задаваемые вопросы

Как найти площадь правильного пятиугольника?

Возведите длину стороны в квадрат и умножьте на константу $\frac{1}{4}\sqrt{5\left(5 + 2\sqrt{5}\right)} \approx 1.72048$. Для стороны 6 площадь составляет около $1.72048 \times 36 \approx 61.9372$.

Что такое апофема пятиугольника?

Апофема — это расстояние от центра до середины стороны. Для правильного пятиугольника она равна $\frac{s}{2\tan(36^\circ)} \approx 0.68819\,s$, поэтому сторона 1 даёт апофему около $0.6882$.

Чему равен периметр правильного пятиугольника?

Поскольку все пять сторон равны, периметр просто в пять раз больше стороны: $P = 5s$. Сторона 6 даёт периметр 30.