Калькулятор тригонометрии

Что такое калькулятор тригонометрии?

Тригонометрия — это раздел математики, связывающий углы треугольника с длинами его сторон. Калькулятор тригонометрии принимает один угол и возвращает шесть определённых для него тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Вы можете ввести угол в градусах или радианах, а калькулятор сам выполнит преобразование.

Эти шесть функций описывают отношения, которые остаются постоянными для данного угла, независимо от того, насколько большой или маленький треугольник. Именно это делает их такими мощными: как только угол известен, отношения зафиксированы, и они встречаются повсюду — от геодезии и навигации до физики, обработки сигналов и компьютерной графики.

Ключевые понятия

• Угол (θ) — входной угол, измеряемый в градусах (полный оборот — 360°) или радианах (полный оборот — $2\pi$).
• Синус и косинус — две основополагающие функции; на единичной окружности $\cos\theta$ — это координата x, а $\sin\theta$ — координата y точки при угле θ.
• Тангенс — отношение $\sin\theta / \cos\theta$, равное наклону линии радиуса при угле θ.
• Обратные функции — котангенс, секанс и косеканс являются обратными к тангенсу, косинусу и синусу соответственно.

Как работает калькулятор?

Представьте окружность радиусом 1 с центром в начале координат — единичную окружность. Точка на окружности при угле θ (отсчитываемом против часовой стрелки от положительной оси x) имеет координаты $(\cos\theta, \sin\theta)$. Каждая тригонометрическая функция строится из этих двух координат.

Формулы

Две основные функции — это координаты точки на единичной окружности:

Остальные четыре функции — это отношения и обратные величины этих двух:

Поскольку деление на ноль не определено, некоторые функции не имеют значения при определённых углах. Тангенс и секанс не определены там, где $\cos\theta = 0$ (например, 90° и 270°), а котангенс и косеканс не определены там, где $\sin\theta = 0$ (например, 0° и 180°). Калькулятор оставляет эти результаты пустыми.

Разобранные примеры

Пример 1: угол 30°

При 30° значения точны и хорошо известны:

Пример 2: угол 45°

При 45° синус и косинус равны, поэтому тангенс и котангенс оба равны 1:

Пример 3: угол 90°

При 90° точка находится в верхней части единичной окружности, поэтому $\cos 90° = 0$:

Здесь $\tan 90°$ и $\sec 90°$ не определены, так как делятся на $\cos 90° = 0$.

Пример 4: угол 1 радиан

Переключив единицу ввода на радианы и введя 1:

Практическое применение

• Геодезия и навигация — преобразование измеренного угла возвышения в высоту или горизонтальное расстояние.
• Физика и инженерия — разложение сил, скоростей или сигналов переменного тока на перпендикулярные составляющие.
• Компьютерная графика и игры — поворот точек, наведение снарядов и анимация кругового движения опираются на синус и косинус.
• Астрономия — связывание видимого угла звезды с расстояниями с помощью тех же отношений.
• Решение треугольников — как только у вас есть значение функции, калькулятор угла прямоугольного треугольника поможет восстановить углы реального треугольника.

Примечания

• Убедитесь, что единица ввода соответствует вашему углу: ввод 90 в режиме радиан — это совершенно другой угол, нежели 90 градусов.
• Чтобы преобразовать угол сам по себе между градусами, радианами и градами, используйте конвертер единиц угла.
• Пустые результаты означают, что функция не определена при данном угле (деление на ноль), а не то, что калькулятор дал сбой.
• Шесть функций повторяются периодически, поэтому угол и тот же угол плюс полный оборот дают одинаковые результаты.
• Зная угол, вы можете подставить его в калькулятор площади сектора круга, чтобы рассчитать круговой сектор.