Калькулятор вершинной формы

Что такое калькулятор вершинной формы?

Калькулятор вершинной формы берёт квадратное уравнение, записанное в стандартной форме, и переписывает его в вершинной форме. Стандартная форма, $y = ax^2 + bx + c$, удобна для считывания точки пересечения с осью y, а вершинная форма, $y = a(x - h)^2 + k$, сразу же выявляет точку поворота параболы. Точка $(h, k)$ — это вершина: самая низкая точка, когда парабола открывается вверх ($a > 0$), и самая высокая точка, когда она открывается вниз ($a < 0$).

Этот инструмент вычисляет $h$ и $k$ за вас, так что вы можете построить график параболы, найти её ось симметрии или считать её минимальное или максимальное значение без выделения полного квадрата вручную.

Формула

Для квадратичной функции в стандартной форме координаты вершины составляют:

$h = -\frac{b}{2a} \qquad k = c - \frac{b^2}{4a}$

Старший коэффициент $a$ не меняется, поэтому вершинная форма имеет вид:

$y = a(x - h)^2 + k$

Ось симметрии — это вертикальная прямая $x = h$.

Как использовать

1. Введите коэффициент $a$ (он не должен быть равен нулю, иначе уравнение не является квадратным).
2. Введите коэффициенты $b$ и $c$.
3. Считайте вычисленные значения вершины $h$ и $k$. Вершинная форма тогда имеет вид $y = a(x - h)^2 + k$.

Результаты остаются пустыми, пока все три коэффициента не заполнены и $a \neq 0$.

Разобранный пример

Преобразуем $y = 2x^2 - 12x + 10$ в вершинную форму. Здесь $a = 2$, $b = -12$ и $c = 10$.

Вычислим $h$:

$h = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$

Вычислим $k$:

$k = c - \frac{b^2}{4a} = 10 - \frac{(-12)^2}{4 \cdot 2} = 10 - \frac{144}{8} = 10 - 18 = -8$

Итак, вершина — это $(3, -8)$, а вершинная форма имеет вид:

$y = 2(x - 3)^2 - 8$

Часто задаваемые вопросы

Почему коэффициент a не должен быть равен нулю?

Если $a = 0$, член $x^2$ исчезает, и уравнение становится линейным, $y = bx + c$, у которого нет вершины. Обе формулы вершины также делят на $a$, поэтому $a = 0$ сделало бы их неопределёнными. Чтобы проанализировать прямую, см. калькулятор углового коэффициента.

Как вершина связана со скоростью изменения?

В вершине мгновенный угловой коэффициент параболы равен нулю, поэтому она и является точкой поворота. Чтобы измерить, как выходное значение функции меняется на интервале, а не в одной точке, используйте калькулятор средней скорости изменения.