Калькулятор среднего геометрического

Что такое калькулятор среднего геометрического?

Калькулятор среднего геометрического находит меру центральной тенденции списка положительных чисел, перемножая их все вместе и извлекая корень той степени, которая соответствует количеству введённых значений. В отличие от обычного (арифметического) среднего, которое складывает значения и делит на их количество, среднее геометрическое построено на умножении, что делает его правильным выбором всякий раз, когда ваши данные представляют темпы, отношения или величины, которые складываются по принципу сложного процента с течением времени.

Введите свои числа, и калькулятор мгновенно сообщит среднее геометрическое вместе с количеством использованных значений. Поскольку среднее геометрическое включает произведение всех значений, оно определено только для положительных чисел — единственный ноль обнулит произведение, а отрицательное значение делает корень неопределённым для действительных данных, поэтому в таких случаях калькулятор оставляет результат пустым.

Как это работает?

Среднее геометрическое $n$ положительных значений — это корень $n$-й степени из их произведения:

Чтобы вычисления оставались численно устойчивыми для длинных списков, калькулятор вычисляет то же значение через логарифмы — усредняя натуральные логарифмы входных данных и возводя результат в степень экспоненты:

Обе формы дают идентичный ответ; логарифмическая версия просто позволяет избежать переполнения при перемножении большого количества значений.

Разобранные примеры

Два числа. Для списка $2$ и $8$ произведение равно $16$, и значений всего $n = 2$, поэтому среднее геометрическое — это квадратный корень из $16$:

Три числа. Для $2$, $4$ и $8$ произведение равно $64$, а $n = 3$, поэтому среднее геометрическое — это кубический корень из $64$:

Одинаковые значения. Когда все значения одинаковы, среднее геометрическое равно этому значению. Для $3$, $3$ и $3$:

Когда использовать среднее геометрическое

Среднее геометрическое проявляет себя всякий раз, когда значения перемножаются, а не складываются. Распространённые случаи использования включают:

• Средние темпы роста и доходности. Для доходности инвестиций, роста населения или инфляции, измеряемых из года в год, среднее геометрическое коэффициентов роста даёт истинное среднее по сложному проценту — арифметическое среднее его завышает.
• Отношения и индексные числа. Индексы цен, соотношения сторон и другие величины, выраженные в виде отношений, корректно усредняются с помощью среднего геометрического.
• Данные, охватывающие несколько порядков величины. Когда значения охватывают разные степени десятки, среднее геометрическое гораздо меньше искажается экстремальными элементами, чем арифметическое среднее.

Для единственного значения среднее геометрическое равно просто этому значению, а для любого списка оно всегда меньше или равно арифметическому среднему тех же чисел, причём равенство достигается только тогда, когда все значения одинаковы.

Часто задаваемые вопросы

Почему числа должны быть положительными? Среднее геометрическое зависит от произведения всех значений. Ноль обнуляет произведение, а отрицательное значение делает корень чётной степени неопределённым для действительных чисел, поэтому осмысленное среднее геометрическое существует только тогда, когда каждое входное значение больше нуля. Чтобы узнать, как среднее геометрическое связано с повседневным средним, см. калькулятор среднего значения, а чтобы измерить, насколько разбросаны ваши данные, попробуйте калькулятор стандартного отклонения.

Чем оно отличается от медианы или моды? Медиана и мода описывают положение и частоту, а не центр, основанный на произведении; калькулятор среднего, медианы и моды охватывает эти меры. Среднее геометрическое — это истинное среднее, но настроенное для мультипликативных данных.