Калькулятор стандартного отклонения

Что такое калькулятор стандартного отклонения?

Калькулятор стандартного отклонения измеряет, насколько набор чисел разбросан вокруг своего среднего. Введите свои данные, и калькулятор мгновенно сообщит количество, среднее, дисперсию и стандартное отклонение — как для интерпретации данных в виде генеральной совокупности, так и в виде выборки. Малое стандартное отклонение означает, что значения плотно сгруппированы вокруг среднего; большое означает, что они широко разбросаны.

Стандартное отклонение — одна из наиболее широко используемых мер разброса в статистике. Оно встречается повсюду: от контроля качества и финансов (где его часто называют волатильностью) до анализа результатов тестов и научных исследований, потому что оно выражает изменчивость в тех же единицах, что и исходные данные.

Генеральная совокупность против выборки

Существуют две тесно связанные версии дисперсии и стандартного отклонения, и выбор правильной имеет значение.

• Статистики генеральной совокупности описывают полный набор данных — включён каждый интересующий вас элемент. Дисперсия генеральной совокупности делит сумму квадратов отклонений на количество $N$, а её символы — $\sigma^2$ (дисперсия) и $\sigma$ (стандартное отклонение).
• Выборочные статистики описывают меньшее подмножество, извлечённое из более крупной генеральной совокупности, и вы хотите оценить разброс всей этой совокупности по выборке. Выборочная дисперсия делит на $n - 1$ вместо $n$ (это известно как поправка Бесселя), что устраняет смещение, возникающее из-за использования выборочного среднего вместо неизвестного истинного среднего. Её символы — $s^2$ (дисперсия) и $s$ (стандартное отклонение).

Поскольку деление на меньшее $n - 1$ даёт чуть больший результат, выборочное стандартное отклонение всегда больше или равно стандартному отклонению генеральной совокупности для одних и тех же данных. Выборочная версия требует не менее двух точек данных; при единственном значении разброса для оценки нет.

Как это работает?

Стандартное отклонение генеральной совокупности — это квадратный корень из среднего квадрата расстояния каждого значения от среднего:

где $\mu$ — среднее генеральной совокупности, а $N$ — число значений. Выборочное стандартное отклонение использует выборочное среднее $\bar{x}$ и делит на $n - 1$:

Вычисление выполняется в четыре шага:

1. Найдите среднее, сложив все значения и разделив на их количество.
2. Найдите каждое отклонение, вычтя среднее из каждого значения.
3. Возведите каждое отклонение в квадрат и сложите квадраты.
4. Разделите на $N$ (генеральная совокупность) или $n - 1$ (выборка), затем извлеките квадратный корень, чтобы получить стандартное отклонение. Если пропустить квадратный корень, останется дисперсия.

Разобранный пример

Рассмотрим набор данных $2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$, в котором $N = 8$ значений.

Сначала среднее:

Далее квадраты отклонений от среднего $5$ равны $9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16$, их сумма составляет $32$. Дисперсия и стандартное отклонение генеральной совокупности равны:

Если те же числа трактовать как выборку, разделите сумму квадратов на $n - 1 = 7$:

Как и ожидалось, выборочное стандартное отклонение $2.1381$ больше стандартного отклонения генеральной совокупности $2$.

Для меньшего набора, такого как $1, 2, 3, 4, 5$, среднее равно $3$, сумма квадратов отклонений равна $10$, стандартное отклонение генеральной совокупности равно $\sqrt{2} \approx 1.4142$, а выборочное стандартное отклонение равно $\sqrt{2.5} \approx 1.5811$.

Практические замечания

Используйте формулу для генеральной совокупности, когда ваши числа представляют всю анализируемую группу — например, результаты тестов каждого ученика одного класса, когда этот класс — всё, что вас интересует. Используйте формулу для выборки, когда ваши числа являются подмножеством, по которому делается вывод о более крупной группе, что является обычным случаем в опросах, экспериментах и большинстве реальных статистических задач.

Стандартное отклонение естественно сочетается со средним и с интервальными оценками, такими как доверительный интервал, который использует стандартное отклонение и объём выборки для ограничения истинного среднего. Оно также лежит в основе критических значений, используемых при проверке гипотез.

Часто задаваемые вопросы

В чём разница между дисперсией и стандартным отклонением?

Дисперсия — это среднее квадратов отклонений от среднего, выраженное в квадратных единицах. Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии, который возвращает меру к исходным единицам данных и делает её легче для интерпретации.

Какое стандартное отклонение использовать — генеральной совокупности или выборочное?

Используйте версию для генеральной совокупности ($\sigma$, делить на $N$), когда ваши данные охватывают всю интересующую группу. Используйте выборочную версию ($s$, делить на $n - 1$), когда ваши данные — это выборка из более крупной совокупности и вы хотите получить несмещённую оценку её разброса.

Может ли стандартное отклонение быть нулём или отрицательным?

Оно может быть нулём, что происходит только тогда, когда каждое значение в наборе данных одинаково — разброса нет. Оно никогда не может быть отрицательным, потому что это квадратный корень из суммы квадратов (неотрицательных) слагаемых.