Калькулятор критических значений

Что такое критическое значение?

Критическое значение — это пороговая точка, отделяющая значения тестовой статистики, при которых нулевая гипотеза отвергается, от тех, при которых она не отвергается. После выбора уровня значимости и направления критерия критическое значение задаёт границу области отклонения. Если вычисленная статистика выходит за эту границу, результат статистически значим на выбранном уровне.

Этот калькулятор возвращает критическое значение для четырёх распределений, которые чаще всего встречаются в проверке гипотез: стандартного нормального (Z), Стьюдента (t), хи-квадрат и F. Выберите распределение, тип критерия (двусторонний, правосторонний или левосторонний), уровень значимости и степени свободы там, где распределение их требует.

Как работает калькулятор?

Любое критическое значение — это квантиль функции распределения. Если $F$ — функция распределения выбранного распределения, то квантильная (обратная) функция $F^{-1}$ преобразует вероятность обратно в значение, расположенное при этой вероятности. Калькулятор вычисляет $F^{-1}$ при вероятности, заданной вашим уровнем значимости $\alpha$ и направлением критерия.

Для симметричного распределения, такого как Z или t, три типа критерия соответствуют следующим вероятностям:

Распределения хи-квадрат и F несимметричны, поэтому двусторонний критерий даёт две разные границы — нижнюю и верхнюю:

Вычисление квантилей

Квантиль стандартного нормального распределения $\Phi^{-1}$ не имеет замкнутой формы, поэтому калькулятор использует рациональное приближение (метод Акклама), уточнённое шагом Галлея, что даёт обратное нормальное распределение с полной двойной точностью. Квантили t, хи-квадрат и F находятся численным обращением их функций распределения, построенных на регуляризованных неполных бета- и гамма-функциях.

Разобранные примеры

1. Z, двусторонний, $\alpha = 0.05$. Распределите уровень значимости по обоим хвостам и вычислите нормальный квантиль при $1 - \tfrac{0.05}{2} = 0.975$: $\Phi^{-1}(0.975) = 1.959964 \approx \pm 1.96$ Область отклонения — всё, что ниже $-1.96$ или выше $1.96$.

2. Z, правосторонний, $\alpha = 0.05$. Один верхний хвост: $\Phi^{-1}(0.95) = 1.644854 \approx 1.64$

3. t, правосторонний, $d = 15$, $\alpha = 0.05$. Вычислите квантиль t при $0.95$ с 15 степенями свободы: $t^{-1}(0.95;\, 15) \approx 1.7531$ Область отклонения — $(1.7531, \infty)$.

4. t, двусторонний, $d = 10$, $\alpha = 0.05$. Вычислите при $0.975$: $t^{-1}(0.975;\, 10) \approx \pm 2.228$

5. Хи-квадрат, двусторонний, $d = 10$, $\alpha = 0.05$. Нижняя и верхняя границы берутся из $0.025$ и $0.975$: $\chi^{2-1}(0.025;\, 10) \approx 3.247 \qquad \chi^{2-1}(0.975;\, 10) \approx 20.483$

6. F, правосторонний, $d = 5$, $d_2 = 10$, $\alpha = 0.05$. С 5 степенями свободы числителя и 10 знаменателя: $F^{-1}(0.95;\, 5,\, 10) \approx 3.326$

Практические замечания

• Уровень значимости $\alpha$ должен строго лежать между $0$ и $1$. Обычные значения — $0.10$, $0.05$ и $0.01$.
• Используйте распределение Z, когда стандартное отклонение генеральной совокупности известно или выборка велика; переходите к распределению t для малых выборок с оценённым стандартным отклонением.
• Распределение хи-квадрат применяется для критериев дисперсии и согласия, а распределение F — для сравнения двух дисперсий или для дисперсионного анализа.
• Степени свободы определяют форму распределений t, хи-квадрат и F. По мере роста степеней свободы у t её критические значения приближаются к соответствующим значениям Z.

Часто задаваемые вопросы

В чём разница между односторонним и двусторонним критическим значением?

Односторонний критерий помещает всю область отклонения в один хвост, поэтому использует $F^{-1}(1 - \alpha)$ (справа) или $F^{-1}(\alpha)$ (слева). Двусторонний критерий распределяет $\alpha$ по обоим хвостам, отодвигая каждое критическое значение дальше от центра.

Почему критическому значению хи-квадрат нужны степени свободы?

Распределение хи-квадрат меняет форму в зависимости от степеней свободы, поэтому один и тот же уровень значимости соответствует разным пороговым точкам при разных степенях свободы. То же верно для распределений t и F.

Как критическое значение связано с p-значением?

Это две стороны одного решения. Вы отвергаете нулевую гипотезу, когда тестовая статистика превышает критическое значение, что происходит ровно тогда, когда p-значение меньше $\alpha$.

Может ли критическое значение быть отрицательным?

Да. Левостороннее критическое значение Z или t отрицательно, поскольку находится в нижнем хвосте. Значения хи-квадрат и F всегда неотрицательны, так как эти распределения определены только для неотрицательных чисел.