Калькулятор среднего абсолютного отклонения

Что такое калькулятор среднего абсолютного отклонения?

Калькулятор среднего абсолютного отклонения измеряет, насколько набор чисел разбросан, усредняя, насколько каждое значение удалено от среднего. Введите свои данные, и калькулятор мгновенно сообщит среднее абсолютное отклонение (MAD) вместе со средним и количеством значений. Малое MAD означает, что числа плотно сгруппированы вокруг среднего; большое MAD означает, что они широко разбросаны.

В отличие от стандартного отклонения, которое возводит каждое отклонение в квадрат, среднее абсолютное отклонение использует обычное абсолютное расстояние. Это сохраняет результат в тех же единицах, что и исходные данные, и делает его наглядным: MAD — это просто типичное расстояние между точкой данных и средним.

Как это работает?

Среднее абсолютное отклонение — это среднее абсолютных разностей между каждым значением и средним:

где $\bar{x}$ — среднее данных, а $n$ — число значений. Вычисление выполняется в три шага:

1. Найдите среднее, сложив все значения и разделив на их количество.
2. Найдите каждое абсолютное отклонение, вычтя среднее из каждого значения и отбросив знак с помощью абсолютной величины.
3. Усредните эти абсолютные отклонения, сложив их и разделив на $n$.

Взятие абсолютной величины на шаге 2 — это то, что отличает MAD от наивного среднего отклонения: без него положительные и отрицательные отклонения всегда взаимно уничтожались бы до нуля.

Разобранные примеры

Рассмотрим набор данных $1, 2, 3, 4, 5$, в котором $n = 5$ значений.

Сначала среднее:

Далее абсолютные отклонения от среднего $3$ равны $2, 1, 0, 1, 2$, их сумма составляет $6$. Среднее абсолютное отклонение равно:

Для набора $2, 2, 4, 4$ среднее равно $3$, абсолютные отклонения равны $1, 1, 1, 1$, и поэтому:

Когда все значения одинаковы, например $10, 10, 10$, среднее равно $10$, каждое отклонение равно $0$, а среднее абсолютное отклонение равно $0$ — разброса нет вовсе.

Практические замечания

Среднее абсолютное отклонение популярно, когда нужна мера изменчивости, которую легко объяснить и которая устойчива к чрезмерному влиянию экстремальных значений. Поскольку оно не возводит отклонения в квадрат, одна далеко удалённая точка поднимает MAD меньше, чем поднимает стандартное отклонение, что делает MAD более робастной сводкой типичного разброса.

Оно естественно сочетается со средним, которое даёт центральное значение, от которого измеряются отклонения, и со средним, медианой и модой для более полной картины центра и формы набора данных. MAD никогда не может быть отрицательным, и оно равно нулю только тогда, когда каждое значение равно среднему.