Калькулятор t-статистики

Что такое t-статистика?

T-статистика показывает, насколько выборочное среднее отклоняется от предполагаемого среднего генеральной совокупности, с учётом изменчивости самой выборки. Это ключевой элемент одновыборочного t-критерия: вы собираете выборку, сравниваете её среднее с целевым значением, и t-статистика показывает, насколько неожиданным является этот разрыв в единицах стандартной ошибки. Значение t-статистики около 0 означает, что выборочное среднее близко к среднему совокупности; большое положительное или отрицательное значение означает, что выборка далека от него.

T-статистика тесно связана с z-оценкой, но использует выборочное стандартное отклонение вместо известного стандартного отклонения генеральной совокупности. Именно из-за этой замены и существует t-распределение: у него чуть более тяжёлые хвосты, чем у нормального распределения, что учитывает дополнительную неопределённость при оценке разброса по малой выборке.

Как работает калькулятор?

Введите выборочное среднее, среднее совокупности, с которым вы сравниваете, выборочное стандартное отклонение и объём выборки. Калькулятор вернёт одновыборочную t-статистику:

Где:

• x̄ — выборочное среднее.
• μ₀ — среднее совокупности, заданное нулевой гипотезой.
• s — выборочное стандартное отклонение, которое должно быть больше нуля.
• n — объём выборки, который должен быть не менее единицы.

Знаменатель s / √n — это стандартная ошибка среднего, типичное расстояние между выборочным средним и истинным средним. Деление исходной разности на стандартную ошибку превращает её в безразмерную тестовую статистику, которую можно сравнить с t-распределением с n − 1 степенями свободы.

Примеры расчёта

1. Выборка выше целевого значения. Выборка объёмом n = 25 имеет среднее x̄ = 130 при среднем совокупности μ₀ = 120 и выборочном стандартном отклонении s = 15. $t = \frac{130 - 120}{15 / \sqrt{25}} = \frac{10}{3} \approx 3.3333$ Выборочное среднее примерно на 3,33 стандартной ошибки выше предполагаемого среднего.

2. Небольшой положительный сдвиг. При x̄ = 10.5, μ₀ = 10, s = 2 и n = 16: $t = \frac{10.5 - 10}{2 / \sqrt{16}} = \frac{0.5}{0.5} = 1$ Выборочное среднее ровно на одну стандартную ошибку выше целевого значения.

3. Выборка ниже целевого значения. При x̄ = 98, μ₀ = 100, s = 5 и n = 25: $t = \frac{98 - 100}{5 / \sqrt{25}} = \frac{-2}{1} = -2$ Отрицательный знак показывает, что выборочное среднее на две стандартные ошибки ниже предполагаемого среднего.

Практические замечания

• Выборочное стандартное отклонение должно быть положительным. Значение ноль означало бы отсутствие разброса данных, делая стандартную ошибку — и t-статистику — неопределённой.
• Чтобы оценить значимость, сравните t-статистику с критическим значением t-распределения с n − 1 степенями свободы или преобразуйте её в p-значение.
• Для больших выборок t-распределение сходится к нормальному, поэтому t-статистика и z-оценка становятся практически идентичными.
• Используйте эту одновыборочную формулу при сравнении одного выборочного среднего с фиксированным эталонным значением; двухвыборочный критерий использует другой знаменатель.

Часто задаваемые вопросы

Может ли t-статистика быть отрицательной?

Да. Отрицательная t-статистика просто означает, что выборочное среднее ниже среднего совокупности, с которым вы сравниваете. Знак указывает направление, а величина — расстояние в единицах стандартной ошибки.

В чём разница между t-статистикой и z-оценкой?

Обе измеряют расстояние от эталонного значения, но z-оценка делит на известное стандартное отклонение совокупности, а t-статистика — на стандартную ошибку, построенную по выборочному стандартному отклонению. T-статистика подходит, когда стандартное отклонение совокупности неизвестно. См. калькулятор z-оценки для случая с известным стандартным отклонением совокупности.

Что такое степени свободы?

Для одновыборочного t-критерия число степеней свободы равно n − 1. Они описывают форму t-распределения, с которым сравнивается статистика: меньшее число степеней свободы даёт более тяжёлые хвосты и более консервативный тест.

Почему выборочное стандартное отклонение должно быть больше нуля?

Формула делит на стандартную ошибку s / √n. Если бы s было нулём, деление было бы неопределённым, а выборка без изменчивости не может поддерживать осмысленный тест.