Bölünebilme kuralları hesaplayıcı

Bölünebilme kuralları hesaplayıcı nedir?

Bir bölünebilme kuralları hesaplayıcı, tek bir tam sayı $N$ alır ve hangi küçük bölenlere bölünebildiğini bir bakışta gösterir. Bu araç 2’den 12’ye kadar her böleni kontrol eder ve her biri için Evet ya da Hayır yanıtı verir. Bir sayı, bölme işlemi kalan bırakmadığında $d$‘ye bölünebilir — yani $N$, $d$ ile başka bir tam sayının çarpımı olarak yazılabildiğinde.

Bölünebilme, aritmetikteki en yararlı fikirlerden biridir. Kesirleri sadeleştirmenize, ortak çarpanları bulmanıza, asal sayıları fark etmenize ve her seferinde uzun bölme yapmadan miktarları eşit gruplara ayırmanıza olanak tanır.

”Bölünebilir” ne anlama gelir?

$N$‘nin $d$‘ye bölünebildiğini, bölmenin kalanı sıfır olduğunda söyleriz:

$$N \bmod d = 0$$

Eşdeğer olarak, şu şekilde bir $k$ tam sayısı vardır:

$$N = d \times k$$

Örneğin, 60 sayısı 12’ye bölünebilir çünkü $60 = 12 \times 5$ ve kalan yoktur. Buna karşılık, 60 sayısı 7’ye bölünemez, çünkü $60 = 7 \times 8 + 4$ — geriye 4 kalanı kalır.

Sıfırdan farklı her $d$ için $0 \bmod d = 0$ olduğundan, 0 sayısı her bölene bölünebilir. Hesaplayıcı 0’ı geçerli bir giriş olarak kabul eder ve tablonun tamamında Evet yanıtını verir.

Hesaplayıcı nasıl çalışır?

Bir tam sayı yazarsınız ve hesaplayıcı 2’den 12’ye kadar her bölen için bilinen bir bölünebilme kuralı uygular. Her kural, yalnızca sayının rakamlarına bakarak tam bölmeden kaçınan bir kısa yoldur.

2’ye bölünebilme

Bir sayı çift olduğunda 2’ye bölünebilir — son rakamı 0, 2, 4, 6 veya 8’dir. Örnek: 60, 0 ile biter, bu yüzden 2’ye bölünebilir.

3’e bölünebilme

Bir sayı, rakamlarının toplamı 3’e bölünebildiğinde 3’e bölünebilir. 60 için: $6 + 0 = 6$ ve 6, 3’e bölünebilir, dolayısıyla 60, 3’e bölünebilir.

4’e bölünebilme

Bir sayı, son iki rakamının oluşturduğu sayı 4’e bölünebildiğinde 4’e bölünebilir. 60 için son iki rakam 60’ı oluşturur ve $60 = 4 \times 15$, dolayısıyla 60, 4’e bölünebilir.

5’e bölünebilme

Bir sayı, son rakamı 0 veya 5 olduğunda 5’e bölünebilir. Örnek: 60, 0 ile biter, bu yüzden 5’e bölünebilir.

6’ya bölünebilme

Bir sayı, hem 2’ye hem de 3’e bölünebildiğinde 6’ya bölünebilir. 60, 2 ve 3 testlerinden geçtiği için 6’ya bölünebilir.

7’ye bölünebilme

Son rakamı al, iki katına çıkar ve sayının geri kalanından çıkar. Sonuç 7’ye bölünebiliyorsa, orijinal sayı da bölünebilir. 91 için: 1’i çıkar, iki katına çıkararak 2 elde et, sonra $9 - 2 = 7$. 7, 7’ye bölünebildiği için 91 de bölünebilir — gerçekten de $91 = 7 \times 13$.

8’e bölünebilme

Bir sayı, son üç rakamının oluşturduğu sayı 8’e bölünebildiğinde 8’e bölünebilir. Üçten az rakamı olan sayılar için sadece sayının tamamını kontrol edin.

9’a bölünebilme

Bir sayı, rakamlarının toplamı 9’a bölünebildiğinde 9’a bölünebilir. 60 için: $6 + 0 = 6$, bu da 9’a bölünemez, dolayısıyla 60, 9’a bölünemez.

10’a bölünebilme

Bir sayı, son rakamı 0 olduğunda 10’a bölünebilir. Örnek: 60, 0 ile biter, bu yüzden 10’a bölünebilir.

11’e bölünebilme

Rakamları dönüşümlü bir düzende (sağdan sola) topla ve çıkar, ardından sonucun 11’e bölünebilir olup olmadığını kontrol et (sıfır bölünebilir sayılır). 121 için: $1 - 2 + 1 = 0$, dolayısıyla 121, 11’e bölünebilir.

12’ye bölünebilme

Bir sayı, hem 3’e hem de 4’e bölünebildiğinde 12’ye bölünebilir. 60, 3 ve 4 testlerinden geçtiği için 12’ye bölünebilir.

Formül

Herhangi bir bölen $d$ için genel test, modülo (kalan) işlemine dayanır:

$$N \text{ is divisible by } d \iff N \bmod d = 0$$

Birçok kural, bir sayının rakamlarının basit bir birleşimine denk olması gerçeğine dayanır. Rakam toplamı kuralları (3 ve 9) için, eğer $N$‘nin rakamları $a_i$ ise, o zaman:

$$N \equiv \sum_i a_i \pmod{9}$$

dolayısıyla $N$, tam olarak rakamlarının toplamı bölünebildiğinde 3 veya 9’a bölünebilir. 11 için, $10 \equiv -1 \pmod{11}$ olduğundan dönüşümlü toplam uygulanır:

$$N \equiv \sum_i (-1)^i a_i \pmod{11}$$

Çözümlü örnekler

Örnek 1: N = 60

• 2, 3, 4, 5, 6, 10 ve 12’ye bölünebilir → Evet
• 7, 8, 9 ve 11’e bölünebilir → Hayır

60 sayısı yüksek düzeyde bileşiktir, takvimlerin, saatlerin ve ölçü sistemlerinin onu tercih etmesinin nedeni tam olarak budur: yarımlara, üçte birlere, dörtte birlere, beşte birlere, altıda birlere ve on ikide birlere eşit olarak bölünür.

Örnek 2: N = 91

• 7’ye bölünebilir → Evet (çünkü $91 = 7 \times 13$)
• 2’ye bölünebilir → Hayır (91 tektir)
• 3’e bölünebilir → Hayır (rakam toplamı $9 + 1 = 10$, 3’e bölünemez)

Örnek 3: N = 0

Sıfır her bölene bölünebilir, çünkü her $d$ için $0 \bmod d = 0$. Hesaplayıcı 2’den 12’ye kadar tüm sayılar için Evet yanıtını verir.

Pratik notlar

• Kurallar tam sayılar için geçerlidir. Negatif sayılar, mutlak değerleriyle aynı kurallara uyar — örneğin, −60, 60 gibi davranır.
• Bölünebilme kuralları, bir kesri en sade haline indirgemenin en hızlı yoludur: hem payı hem de paydayı bölen bir bölen bulun ve onu sadeleştirin.
• 2’den 12’ye kadar sadece kontrol etmek yerine bir sayının her bölenini bulmak için Faktör hesaplayıcı’yı kullanın.
• Birkaç sayıyı birleştirmek için En küçük ortak kat hesaplayıcı ve En büyük ortak bölen hesaplayıcı doğrudan bölünebilme üzerine kuruludur.

Sıkça sorulan sorular

Her sayı 1’e bölünebilir mi?

Evet. Her tam sayı 1’e ve kendisine bölünebilir, bu yüzden bölünebilme tablosu 2’den başlar — ilk önemsiz olmayan bölen.

0 neden her sayıya bölünebilir?

Çünkü sıfırdan farklı her bölen $d$ için $0 \bmod d = 0$: 0’ı herhangi bir sayıya bölmek kalan bırakmaz. 0’a bölme işleminin tanımsız olduğuna dikkat edin, bu yüzden 0 hiçbir zaman bölen olarak görünmez.

6 veya 12’ye bölünebilme için tek bir kural var mı?

Kendine ait bir rakam hilesi yok — daha basit kurallar birleştirilir. Bir sayı, hem 2 hem de 3 testinden geçtiğinde 6’ya bölünebilir ve hem 3 hem de 4 testinden geçtiğinde 12’ye bölünebilir.