EBOB Hesaplayıcı (En Büyük Ortak Bölen)

En büyük ortak bölen nedir?

En büyük ortak bölen (EBOB), verilen bir kümedeki her sayıyı kalansız bölen en büyük pozitif tam sayıdır. Örneğin, 12 ile 18’in EBOB’u 6’dır, çünkü 6 hem 12’yi hem de 18’i tam bölen en büyük sayıdır.

Bu hesaplayıcı, iki veya daha fazla pozitif tam sayının EBOB’unu bulur. Ek olarak, en küçük ortak katı (EKOK) da gösterir: kümedeki her sayının katı olan en küçük pozitif tam sayı.

Hesaplayıcı nasıl çalışır?

Sayılarınızı tekrarlanabilir satırlara girin — ihtiyacınız kadar satır ekleyin. Hesaplayıcı boş satırları yok sayar ve bir sonuç üretmek için en az iki sayı gerektirir. Ardından EBOB’u elde etmek için tüm listeye Öklid algoritmasını uygular ve bu sonucu EKOK’u hesaplamak için kullanır.

Öklid algoritması, büyük sayıyı, büyük sayının küçük sayıya bölünmesinden kalan ile tekrar tekrar değiştirerek, kalan sıfır olana kadar iki sayının EBOB’unu bulur. Sıfır olmayan son değer EBOB’tur. Tüm bir listeyi işlemek için EBOB ikişerli olarak hesaplanır: ebob(a, b, c) = ebob(ebob(a, b), c), ve böyle devam eder.

Formüller

Bir sayı listesinin EBOB’u, ikişerli EBOB’un katlanmasıyla hesaplanır:

$\text{GCF}(a_1, a_2, \ldots, a_n) = \gcd(\ldots\gcd(\gcd(a_1, a_2), a_3)\ldots, a_n)$

İki sayının EKOK’u, doğrudan EBOB’larından çıkar:

$\text{lcm}(a, b) = \frac{a \times b}{\gcd(a, b)}$

Çözülmüş örnekler

1. İki sayı: $\gcd(12, 18) = 6$ ve $\text{lcm}(12, 18) = 36$. 12’nin bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 12 ve 18’in bölenleri 1, 2, 3, 6, 9, 18’dir; paylaştıkları en büyük bölen 6’dır.

2. Üç sayı: $\gcd(8, 12, 16) = 4$. 8, 12 ve 16’nın her biri 4’e bölünür ve daha büyük hiçbir sayı üçünü birden bölmez.

3. Aralarında asal sayılar: $\gcd(7, 13) = 1$. Hem 7 hem de 13 asaldır, bu yüzden 1 dışında ortak bölenleri yoktur — aralarında asaldırlar.

4. Daha büyük küme: $\gcd(100, 75, 50) = 25$. 25 sayısı üçünü de böler, oysa 50 sayısı 75’i bölmez.

Pratik notlar

• Kesirleri sadeleştirme: Pay ve paydayı EBOB’larına bölmek, bir kesri en sade haline indirir. Kesir sadeleştirme hesaplayıcısına bakın.
• Kesirleri toplama: Paydaların EKOK’u en küçük ortak paydayı verir, bu da kesirleri toplamayı kolaylaştırır — toplama hesaplayıcısı ile birlikte kullanışlıdır.
• Yalnızca pozitif tam sayılar: EBOB tam sayılar için tanımlanmıştır. Ondalık sayılar ve negatif işaretler burada anlamlı değildir, bu nedenle tam sayı olmayan girdiler beklenmez.
• ebob(a, 0) = a: Geleneğe göre herhangi bir sayı ile sıfırın en büyük ortak böleni sayının kendisidir, bu da sıfırlar ortaya çıktığında hesaplamanın iyi tanımlı kalmasını sağlar.