Sekizgen hesaplayıcı

Sekizgen hesaplayıcı nedir?

Sekizgen hesaplayıcı, düzgün bir sekizgeni tek seferde tanımlayan bir araçtır — eşit kenarlara ve eşit açılara sahip sekiz kenarlı şekil, bir dur işaretiyle aynı dış hat. Bir ölçü girin ve diğer tüm büyüklükleri aynı anda döndürsün: kenar uzunluğu, alan, çevre, üç köşegen, dış çember yarıçapı ve iç çember yarıçapı. Geometri ödevini kontrol eden öğrenciler, sekizgen bir çerçeve veya masa tablası kesen üreticiler ve bir çardak, döşeme deseni veya işaret tasarlayan herkes için kullanışlıdır.

Düzgün bir sekizgenin özellikleri

Düzgün bir sekizgenin sekiz eşit kenarı ve her biri 135 derece olan sekiz iç açısı vardır. Sekiz köşe birbirinden eşit uzaklıkta olmadığından, bir sekizgenin altıgenin iki yerine üç farklı köşegeni vardır:

• En uzun köşegen iki karşıt köşeyi birleştirir ve merkezden geçer; bu şeklin tam genişliğidir.
• Orta köşegen aralarında iki köşe bulunan iki köşeyi birleştirir.
• En kısa köşegen tek bir köşeyi atlayan iki köşeyi birleştirir.

Dış çember yarıçapı, merkezden herhangi bir köşeye olan uzaklıktır ve iç çember yarıçapı (apotem olarak da adlandırılır), merkezden herhangi bir kenarın orta noktasına olan uzaklıktır.

Hesaplayıcı nasıl çalışır?

Herhangi bir alana bir değer yazın; hesaplayıcı önce ondan kenar uzunluğunu geri elde eder, ardından kalan her özelliği doldurur. Böylece kenardan, alandan, çevreden, üç köşegenden herhangi birinden, dış çember yarıçapından veya iç çember yarıçapından başlayabilir ve her zaman sekizgenin eksiksiz bir tanımını elde edersiniz. Her uzunluk alanı farklı birimleri kabul eder ve aralarındaki dönüşümler otomatik olarak gerçekleşir.

Formüller

Kenar uzunluğu $a$ olan düzgün bir sekizgenin alanı:

$$A = 2\left(1 + \sqrt{2}\right) a^2$$

Çevre, kenarın sekiz katıdır:

$$P = 8a$$

Üç köşegen — en uzun $D$, orta $M$ ve en kısa $d$ — şöyledir:

$$D = a\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \qquad M = a\left(1 + \sqrt{2}\right) \qquad d = a\sqrt{2 + \sqrt{2}}$$

Dış çember yarıçapı $R$, en uzun köşegenin yarısıdır ve iç çember yarıçapı $r$ (apotem), orta köşegenin yarısıdır:

$$R = \frac{a}{2}\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \qquad r = \frac{a\left(1 + \sqrt{2}\right)}{2}$$

burada $A$ alan, $P$ çevre, $D$, $M$ ve $d$ en uzun, orta ve en kısa köşegenler, $R$ dış çember yarıçapı, $r$ iç çember yarıçapı ve $a$ kenar uzunluğudur.

Örnekler

1. Kenarı 5 cm olan düzgün bir sekizgen:

$$A = 2\left(1 + \sqrt{2}\right)\times 5^2 \approx 120{,}71 \text{ santimetrekare}$$ $$P = 8 \times 5 = 40 \text{ santimetre}$$ $$D = 5\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \approx 13{,}07 \text{ santimetre} \qquad M = 5\left(1 + \sqrt{2}\right) \approx 12{,}07 \text{ santimetre}$$ $$d = 5\sqrt{2 + \sqrt{2}} \approx 9{,}24 \text{ santimetre}$$ $$R \approx 6{,}53 \text{ santimetre} \qquad r \approx 6{,}04 \text{ santimetre}$$

2. 40 cm’lik bir çevreden geriye doğru çalışıldığında kenar $40 / 8 = 5$ cm olur ve bu, yukarıdaki tüm değerleri yeniden üretir.

Pratik notlar

• En uzun köşegen, düz kenarlı bir sekizgen boyunca tam açıklıktır, dolayısıyla şekli içeren en küçük çemberin çapıdır; dış çember yarıçapı tam olarak onun yarısıdır.
• İç çember yarıçapı apotemdir — sekizgenin içine sığan en büyük çemberin yarıçapı — ve bir sekizgeni yuvarlak bir nesnenin etrafına oturtmak için kullanışlıdır.
• Farklı sayıda kenarı olan şekiller için düzgün çokgen alanı hesaplayıcı alan formülünü genelleştirir ve altıgen hesaplayıcı altı kenarlı durumu ele alır.

Sık sorulan sorular

Düzgün bir sekizgenin alanını nasıl bulurum?

Kenar uzunluğunun karesini alın ve $2\left(1 + \sqrt{2}\right)\approx 4{,}8284$ ile çarpın. Kenarı 5 olan bir sekizgen için alan $2\left(1 + \sqrt{2}\right)\times 25 \approx 120{,}71$ olur.

Üç köşegen arasındaki fark nedir?

En uzun köşegen karşıt köşeleri birleştirir ve merkezden geçer, $a\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$ değerine eşittir. Orta köşegen iki köşeyi atlar ve $a\left(1 + \sqrt{2}\right)$ değerine eşittir. En kısa köşegen bir köşeyi atlar ve $a\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ değerine eşittir.

Bir sekizgenin apotemi nedir?

Apotem, iç çember yarıçapıdır — merkezden bir kenarın ortasına olan uzaklık. Düzgün bir sekizgen için $\frac{a\left(1 + \sqrt{2}\right)}{2}$ değerine eşittir, yaklaşık kenarın 1,207 katı.

Düzgün bir sekizgen ne kadar geniştir?

Karşıt kenarlar arasındaki genişlik, iç çember yarıçapının iki katıdır, $a\left(1 + \sqrt{2}\right)$, bu aynı zamanda orta köşegendir. Karşıt köşeler arasındaki genişlik en uzun köşegendir, $a\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$.