投资提取计算器

什么是投资提取计算器？

投资提取计算器——也称为提款计算器或消耗计算器——回答退休规划中的一个关键问题：如果我持续从一笔仍在产生收益的余额中提取固定金额，这笔钱能维持多久？你输入当下拥有的金额、预期收益率、每期提取多少以及提取频率。工具会给出余额降到零所需的时间，或者告诉你这笔资金能够自给自足、永不耗尽。

它是储蓄预测的镜像。未来价值计算器在你存入资金时让余额向前增长；提取计算器则在你取出资金时让余额减少，并用剩余余额产生的收益抵扣每一次提取。

计算器如何工作？

你提供初始余额、年收益率、每次提取的金额以及提取频率（每月、每季度或每年）。计算器把年利率换算成每个提取周期的利率，然后计算出在降到零之前，余额能支撑多少个周期的提取。

每个周期会发生两件事：余额产生收益，你进行一次提取。如果提取额大于所获收益，余额就会略微减少；如此反复，最终会被取空。如果提取额小于或等于收益，余额永远不会下降——你只靠利息生活——计算器会报告余额可无限期维持。最终的周期数会被转换成自然语言的时长，例如“10年零2个月”。

公式

在初始余额为 $PV$、每期提取 $PMT$、每期收益为 $r$ 的情况下，余额耗尽前的周期数 $n$ 为：

$n = -\frac{\ln\!\left(1 - \dfrac{PV \cdot r}{PMT}\right)}{\ln(1 + r)}$

其中：

• $PV$ 是初始余额。
• $PMT$ 是每期提取的金额。
• $r$ 是每期的收益率。
• $n$ 是余额能维持的提取周期数。

每期利率由年利率和每年提取次数 $k$（每月为 12，每季度为 4，每年为 1）得出：

$r = \frac{\text{annual rate}}{100 \cdot k}$

当余额永不耗尽时

$PV \cdot r$ 是余额在一个周期内产生的收益。如果提取额不超过它，余额就能自给自足：

$PMT \le PV \cdot r \;\Rightarrow\; \text{lasts indefinitely}$

在数学上，对数内的项会变为零或负数，$n$ 无定义，这就是计算器报告无限期维持的信号。

收益率为零

当收益率为零时，公式会出现除以零的情况，因此退化为简单的除法——余额只是在各次提取之间平均分配：

$n = \frac{PV}{PMT}$

使用示例

1. 一笔 100,000 的余额每年收益 4%，每月末提取 1,000：

   • 初始余额 $PV$ = 100000
   • 每期利率 $r = \dfrac{4}{100 \cdot 12} \approx 0.0033333$
   • 提取 $PMT$ = 1000

   由于 $PV \cdot r = 333{,}33$ 小于 1,000 的提取额，余额会被耗尽：

   $n = -\frac{\ln\!\left(1 - \dfrac{100000 \cdot 0.0033333}{1000}\right)}{\ln(1.0033333)} = -\frac{\ln(0.66667)}{0.0033278} \approx 121.8 \text{ months}$

   这大约是 10年零2个月，这段时间内提取的总额约为 $1000 \times 121.8 \approx 121{,}842$。

2. 同样是 100,000 的余额每年收益 6%，但每月只提取 400：

   • 每期利率 $r = \dfrac{6}{100 \cdot 12} = 0.005$
   • 每月获得的收益 $PV \cdot r = 100000 \times 0.005 = 500$

   400 的提取额小于获得的 500，因此余额实际上是在增长而非减少。计算器报告余额可无限期维持。

实用说明

• 结果假设每个周期的收益恒定。真实市场不会提供均匀的收益率，而开局阶段的一连串低收益（收益序列风险）会让余额远比平均收益率所暗示的更快见底。
• 这里的提取是名义值。如果你每年需要相同的购买力，请按通货膨胀提高提取额，并把收益视为实际（扣除通胀后的）收益率。
• 盈亏平衡点是提取额等于所获收益之处，即 $PMT = PV \cdot r$。少提取一点点，余额就能永远维持；多提取一点点，最终就会耗尽。
• 许多规划者的一个粗略起点是每年提取初始余额的约 4%——刻意低于典型的长期收益率——以便资金能支撑漫长的退休生活。

常见问题

“可无限期维持”是什么意思？

意思是提取额足够小，使余额每期产生的收益足以覆盖它，因此余额永远不会降到零。实际上你只花掉增长部分，而本金保持不变。

我应该使用名义收益率还是实际收益率？

使用与你的提取相匹配的那种。如果你的提取金额以今天的货币固定且从不上调，实际（经通胀调整的）收益率能让预测保持真实。如果提取本身随通胀增长，请单独建模——单一的固定提取无法体现这一点。

为什么答案比用余额除以提取额要短？

只有当收益率为零时，余额才恰好维持 $PV / PMT$ 个周期。收益为正时，收益会延长维持时间，因此余额比简单除法维持得更久——除非提取额大到压过收益，此时两个数值会很接近。