弦长计算器

什么是弦长计算器？

弦是两个端点都位于圆上的一条直线段。圆中最长的弦是其直径；其他每条弦都更短，并由某个中心角所”对”——即弦的两端引出的两条半径在圆心处所形成的角。

此计算器在另外两个值已知时，求出三个值——弦长、半径或中心角——中的任意一个。角度可以用度数或弧度输入，半径和弦可以用任何常见的长度单位输入。

关键概念

• 半径 (r) — 从圆心到其边界上任意一点的距离。
• 中心角 (θ) — 在圆心处由分别指向弦两端的两条半径所形成的角。
• 弦 (c) — 弧的两个端点之间的直线距离，即横穿圆而非沿着其曲线的部分。
• 直径 — 经过圆心的弦的特殊情形。其长度为 $2r$，对应于 180° 的中心角。

弦和弧长从两个不同视角描述了同一对端点：弦是直接横穿过去的近路，弧是沿着圆走的路径。

计算器如何工作？

弦、其两端的两条半径和从圆心引出的垂线构成两个全等的直角三角形。半个弦、半径和半个中心角满足

$$\sin\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right) = \frac{c/2}{r}$$

变形后即为计算器所用的公式。

公式

由半径和中心角求弦：

$$c = 2 r \sin\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)$$

由弦和中心角求半径：

$$r = \frac{c}{2 \sin\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)}$$

由弦和半径求中心角：

$$\theta = 2 \arcsin\!\left(\frac{c}{2r}\right)$$

在度数下，将 $\theta$ 替换为 $\theta_{\text{deg}} \cdot \frac{\pi}{180}$，或在切换单位选择器后直接从计算器读取角度。

计算实例

示例 1：由半径和角度求弦

一个圆的半径为 10 cm，中心角为 60°。该角度所截出的弦为

$$c = 2 \cdot 10 \cdot \sin(30°) = 2 \cdot 10 \cdot 0.5 = 10 \text{ cm}$$

这是大家熟悉的恒等式：60° 角的弦等于半径——所形成的三角形为等边三角形。

示例 2：180° 时弦等于直径

对于半径 5 m，中心角 180°（或 $\pi$ 弧度），弦横穿整个圆：

$$c = 2 \cdot 5 \cdot \sin(90°) = 10 \text{ m}$$

这就是圆的直径。

示例 3：由弦和角度求半径

一条 10 cm 长的弦被 60° 的中心角所截。圆的半径为

$$r = \frac{10}{2 \sin(30°)} = \frac{10}{1} = 10 \text{ cm}$$

示例 4：由弦和半径求角度

在半径为 10 cm 的圆中画一条 10 cm 长的弦。中心角为

$$\theta = 2 \arcsin\!\left(\frac{10}{20}\right) = 2 \cdot 30° = 60°$$

示例 5：四分之一圆的弦

对于半径为 1 的圆上的 90° 角，弦为 $c = 2 \sin(45°) = \sqrt{2} \approx 1.4142$，而同样角度的弧长为 $\pi/2 \approx 1.5708$。弧始终略长于弦。

实际用途

• 工程 — 铺设皮带和皮带轮，两轮接触点之间的直线距离即为各轮的弦。
• 建筑与木工 — 测量拱门或弧形窗的跨度，弦给出跨距，弧长给出沿曲线所需的材料。
• 测量 — 从圆形参考点确定地面位置；弦的测量比弧更容易标记。
• 天文学 — 计算遥远天体的视直径，横穿圆形截面的弦对应于观测到的范围。
• 几何与三角学 — 弦与角度的关系是正弦函数最初定义之一，至今仍出现在圆扇形和弓形的计算中。

注意事项

• 弦永远不能长于直径（$c \le 2r$）。如果输入的弦比直径还长，则角度未定义，计算器不返回结果。
• 0° 的角度给出 0 的弦——两个端点重合。
• 180° 的角度给出直径；大于 180° 的角度绕回去，给出与其补角相同的弦（例如 200° 和 160° 产生相同的弦）。
• 根据弦和角度求半径时，角度不能为 0；求角度时，半径不能为 0。
• 半径和弦共享单位：切换单位选择器会自动重新换算结果。