叉积计算器

什么是叉积计算器？

叉积计算器求出两个三维向量使用叉积（或向量积）相乘所得到的向量。与返回单个数字的点积不同，叉积返回一个新向量。该向量与两个原始向量都垂直，其长度等于它们所张成的平行四边形的面积。

给定两个向量 $\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)$ 和 $\mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z)$，本工具返回 $\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 的三个分量。

公式

叉积逐分量定义为：

$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_y b_z - a_z b_y \\ a_z b_x - a_x b_z \\ a_x b_y - a_y b_x \end{pmatrix}$$

因此三个输出分量为：

• $c_x = a_y b_z - a_z b_y$
• $c_y = a_z b_x - a_x b_z$
• $c_z = a_x b_y - a_y b_x$

如何使用

1. 输入向量 $\mathbf{a}$ 的三个分量：$a_x$、$a_y$ 和 $a_z$。
2. 输入向量 $\mathbf{b}$ 的三个分量：$b_x$、$b_y$ 和 $b_z$。
3. 一旦填好全部六个值，计算器便显示 $c_x$、$c_y$ 和 $c_z$ —— 结果向量 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 的各分量。

完全支持负输入。顺序很重要：$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$，因此交换两个向量会翻转每个分量的符号。

计算示例

取 $\mathbf{a} = (1, 2, 3)$ 和 $\mathbf{b} = (4, 5, 6)$。

• $c_x = a_y b_z - a_z b_y = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = 12 - 15 = -3$
• $c_y = a_z b_x - a_x b_z = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6 = 12 - 6 = 6$
• $c_z = a_x b_y - a_y b_x = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3$

因此 $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-3, 6, -3)$。

常见问题解答

为什么叉积是一个向量，而点积是一个数字？

点积衡量两个向量在多大程度上指向相同方向，这是一个单一的标量。叉积则衡量它们所张成的有向面积，并指向与两者都垂直的方向，因此它自然需要三个分量来同时描述该大小和该方向。

如果叉积为零向量意味着什么？

如果 $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (0, 0, 0)$，则两个向量平行（或其中之一为零向量）。平行向量不张成任何面积，因此垂直结果坍缩为零。