余弦定理计算器

什么是余弦定理计算器？

余弦定理计算器在你已知三角形的两条边及其夹角时（即“边-角-边”情形）求解三角形。你输入边 $a$、边 $b$ 和夹角 $C$，计算器便返回第三条边 $c$ 的长度，以及剩下的两个角 $A$ 和 $B$。

余弦定理是勾股定理的推广。当夹角恰好为 $90°$ 时，余弦项消失，公式便退回到 $c^2 = a^2 + b^2$，也就是直角三角形中熟悉的关系。

它是如何运作的？

第三条边直接由余弦定理得出：

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

取平方根即得 $c$：

$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos C}$

一旦三条边都已知，与边 $a$ 相对的角可通过对同一定理变形来求得：

$A = \arccos\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$

由于任意三角形的三个内角之和为 $180°$，最后一个角立即可得：

$B = 180° - A - C$

为使三角形存在，夹角 $C$ 必须严格介于 $0°$ 与 $180°$ 之间，且给定的两条边都必须为正。

算例

直角三角形。 当 $a = 3$、$b = 4$、$C = 90°$ 时，余弦项消失，因此 $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$。剩下的两个角为 $A \approx 36.8699°$ 和 $B \approx 53.1301°$，重现了经典的 3-4-5 三角形。

斜三角形。 当 $a = 5$、$b = 7$、$C = 60°$ 时，我们得到 $c = \sqrt{5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60°} = \sqrt{25 + 49 - 35} = \sqrt{39} \approx 6.2450$。

实用提示

当正弦定理无法开始求解时，余弦定理最为有用——具体来说，就是在边-角-边和边-边-边这两种情形中，此时没有一条边与其对角同时已知。测量员、航海者和工程师依靠它，在只能测得两条边及其夹角时计算跨越一条基线的距离。

如果你已知的是两个角和一条边，或者两条边和一个非夹角，那么正弦定理是更直接的工具。对于直角三角形这一特殊情形，你也可以使用斜边计算器；而若要单独计算夹角的余弦值，请参阅三角函数计算器。