正弦定理计算器

什么是正弦定理计算器？

正弦定理计算器在你知道一个角、与它正对的边以及第二个角时解出三角形。根据这三个值，它算出第三个角和缺失的两条边。正弦定理是把任意三角形的角与其对边长度联系起来的关系，因此它对锐角、直角和钝角三角形都同样适用，而不仅仅是直角三角形。

在这个计算器中，你输入以度表示的角 $A$、边 $a$（角 $A$ 的对边）以及以度表示的角 $B$。它返回角 $C$、边 $b$ 和边 $c$。

它是如何工作的？

正弦定理指出，每条边与其对角正弦的比值对三角形的三条边都相同：

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

由于任意三角形的内角之和为 $180^\circ$，第三个角立即随之得出：

$C = 180^\circ - A - B$

一旦每个角都已知，并给定一条对边（$a$），其余的边便可直接由上述比值得到：

$b = \frac{a \, \sin B}{\sin A} \qquad c = \frac{a \, \sin C}{\sin A}$

为使这些公式描述一个真实的三角形，$A$ 和 $B$ 都必须为正，并且它们之和必须小于 $180^\circ$。如果 $A + B \ge 180^\circ$，则不存在有效的三角形，计算器会将结果留空。

计算示例

示例 1：一个 30-60-90 三角形

设 $A = 30^\circ$、$a = 10$ 且 $B = 60^\circ$。首先求出缺失的角：

$C = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ$

现在应用这些比值。由于 $\sin 30^\circ = 0.5$、$\sin 60^\circ \approx 0.8660$ 且 $\sin 90^\circ = 1$：

$b = \frac{10 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{10 \cdot 0.8660}{0.5} \approx 17.3205$

$c = \frac{10 \cdot \sin 90^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{10 \cdot 1}{0.5} = 20$

因此 $C = 90^\circ$、$b \approx 17.3205$ 且 $c = 20$。

示例 2：一个等腰直角三角形

当 $A = 45^\circ$、$a = 10$ 且 $B = 45^\circ$ 时：

$C = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ$

由于 $\sin 45^\circ = \sin B$，边 $b$ 等于边 $a$：

$b = \frac{10 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 45^\circ} = 10$

$c = \frac{10 \cdot \sin 90^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{10}{0.7071} \approx 14.1421$

这个三角形有两条长度为 $10$ 的相等边，以及一条约为 $14.1421$ 的斜边。

实用说明

• 两个角都以度输入。计算器在取正弦之前会在内部进行换算。
• 已知边 $a$ 必须是已知角 $A$ 的对边；否则比值无法对应。
• 此工具采用角-角-边（AAS）配置，它总是给出唯一的三角形。更棘手的边-边-角（SSA）“歧义情形”——即两个不同的三角形都可能成立——在此不予处理。
• 当你转而知道两条边及其夹角时，请使用余弦定理计算器；而对于单个角的简单正弦、余弦和正切，请参阅三角函数计算器。

常见问题

我什么时候应该使用正弦定理而不是余弦定理？

当你知道一个角连同它的对边，再加上另一个角或边时（AAS 或 ASA 情形），使用正弦定理。当你知道两条边及其夹角，或三条边全部时，使用余弦定理。

正弦定理对非直角三角形有效吗？

是的。它适用于每一个三角形——锐角、直角和钝角。它是解非直角三角形的主要工具之一。

为什么我的结果是空白的？

如果某个字段缺失、某个角为零或为负，或者角 $A$ 加角 $B$ 等于 $180^\circ$ 或更大，结果就会保持为空，因为没有三角形能有这样的角。