八边形计算器

什么是八边形计算器？

八边形计算器是一款能一次性描述正八边形的工具——正八边形是边长和角度都相等的八边形，外形与停车标志相同。输入一个测量值，它就会同时返回所有其他量：边长、面积、周长、三条对角线、外接圆半径和内切圆半径。它对检查几何作业的学生、切割八边形画框或桌面的手作者，以及任何设计凉亭、铺装图案或标牌的人都很有用。

正八边形的性质

正八边形有八条相等的边和八个各为135度的内角。由于八个顶点之间的距离并不全相同，八边形有三条不同的对角线，而不是六边形的两条：

• 最长对角线 连接两个相对的顶点并穿过中心；它是图形的全宽。
• 中等对角线 连接中间隔着两个顶点的两个顶点。
• 最短对角线 连接跳过一个顶点的两个顶点。

外接圆半径是从中心到任一角的距离，内切圆半径（也称为边心距）是从中心到任一边中点的距离。

计算器如何工作？

在任一字段中输入一个值，计算器首先据此还原出边长，然后填入其余所有性质。因此你可以从边、面积、周长、三条对角线中的任一条、外接圆半径或内切圆半径开始，总能得到八边形的完整描述。每个长度字段都接受不同的单位，单位之间的换算会自动进行。

公式

设边长为 $a$，正八边形的面积为：

$$A = 2\left(1 + \sqrt{2}\right) a^2$$

周长是边长的八倍：

$$P = 8a$$

三条对角线——最长 $D$、中等 $M$ 和最短 $d$——为：

$$D = a\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \qquad M = a\left(1 + \sqrt{2}\right) \qquad d = a\sqrt{2 + \sqrt{2}}$$

外接圆半径 $R$ 是最长对角线的一半，内切圆半径 $r$（边心距）是中等对角线的一半：

$$R = \frac{a}{2}\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \qquad r = \frac{a\left(1 + \sqrt{2}\right)}{2}$$

其中 $A$ 是面积，$P$ 是周长，$D$、$M$ 和 $d$ 是最长、中等和最短对角线，$R$ 是外接圆半径，$r$ 是内切圆半径，$a$ 是边长。

示例

1. 边长为 5 cm 的正八边形：

$$A = 2\left(1 + \sqrt{2}\right)\times 5^2 \approx 120.71 \text{ 平方厘米}$$ $$P = 8 \times 5 = 40 \text{ 厘米}$$ $$D = 5\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \approx 13.07 \text{ 厘米} \qquad M = 5\left(1 + \sqrt{2}\right) \approx 12.07 \text{ 厘米}$$ $$d = 5\sqrt{2 + \sqrt{2}} \approx 9.24 \text{ 厘米}$$ $$R \approx 6.53 \text{ 厘米} \qquad r \approx 6.04 \text{ 厘米}$$

2. 从周长 40 cm 反推，边长为 $40 / 8 = 5$ cm，这再现了上面所有的值。

实用说明

• 最长对角线是平边八边形横跨的全长，因此它是包含该图形的最小圆的直径；外接圆半径恰好是它的一半。
• 内切圆半径是边心距——能容纳于八边形内的最大圆的半径——在将八边形套在圆形物体周围时很有用。
• 对于边数不同的图形，正多边形面积计算器 推广了面积公式，而 六边形计算器 处理六边形的情形。

常见问题

如何求正八边形的面积？

将边长平方，再乘以 $2\left(1 + \sqrt{2}\right)\approx 4.8284$。边长为5时，面积为 $2\left(1 + \sqrt{2}\right)\times 25 \approx 120.71$。

三条对角线有什么区别？

最长对角线连接相对顶点并穿过中心，等于 $a\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$。中等对角线跳过两个顶点，等于 $a\left(1 + \sqrt{2}\right)$。最短对角线跳过一个顶点，等于 $a\sqrt{2 + \sqrt{2}}$。

八边形的边心距是什么？

边心距是内切圆半径——从中心到一条边中点的距离。对于正八边形，它等于 $\frac{a\left(1 + \sqrt{2}\right)}{2}$，约为边长的1.207倍。

正八边形有多宽？

相对两边之间的宽度是内切圆半径的两倍 $a\left(1 + \sqrt{2}\right)$，这也是中等对角线。相对两角之间的宽度是最长对角线 $a\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$。