五边形计算器

什么是五边形计算器？

五边形计算器根据单一测量值——边长，求出正五边形（边长相等、角度相等的五边形）的几何参数。输入一条边，计算器便一次性返回面积、周长和边心距。它对于核对几何作业的学生、布置五边形面板或桌面的工匠，以及任何设计使用五边形图案的人都很实用——五边形这一形状随处可见，从足球到建筑。

正五边形的性质

正五边形有五条相等的边和五个各为 108 度的内角。边心距是从五边形中心到任意一边中点的距离；它也是能放入该形状内的最大圆的半径。由于每条边长度相同，周长就是边长的五倍，而面积可以用单一常数直接以边长表示。

它如何工作？

输入边长，计算器会补全其余结果。周长是边长的五倍。面积使用正五边形的精确常数，而边心距使用将中心到边的距离与边长联系起来的常数。当你改变边长时，三个结果都会立即更新。

公式

设边长为 $s$，正五边形的周长是边长的五倍：

$$P = 5s$$

面积由精确公式给出：

$$A = \frac{1}{4}\sqrt{5\left(5 + 2\sqrt{5}\right)}\, s^2$$

常数 $\frac{1}{4}\sqrt{5\left(5 + 2\sqrt{5}\right)} \approx 1.72048$，因此面积约为 $1.72048\,s^2$。

边心距（中心到一边中点）为：

$$a = \frac{s}{2\tan(36^\circ)}$$

系数 $\frac{1}{2\tan(36^\circ)} \approx 0.68819$，因此边心距约为 $0.68819\,s$。

这里 $P$ 是周长，$A$ 是面积，$a$ 是边心距，$s$ 是边长。

示例

1. 边长为 1 个单位的正五边形：

$$P = 5 \times 1 = 5$$ $$A = \frac{1}{4}\sqrt{5\left(5 + 2\sqrt{5}\right)}\times 1^2 \approx 1.7205$$ $$a \approx 0.68819 \times 1 \approx 0.6882$$

2. 边长为 6 个单位的正五边形：

$$P = 5 \times 6 = 30$$ $$A \approx 1.72048 \times 6^2 \approx 61.9372$$

实用说明

• 当你需要用 $A = \tfrac{1}{2} \times P \times a$ 来求面积时，边心距很有用，这个公式适用于任何正多边形。
• 与正六边形不同，五边形无法单独密铺平面——参见六边形计算器，了解能够密铺的六边形。
• 对于其他正形状，等边三角形计算器和圆面积计算器分别处理三边形和圆形的情况。

常见问题

如何求正五边形的面积？

将边长平方，再乘以常数 $\frac{1}{4}\sqrt{5\left(5 + 2\sqrt{5}\right)} \approx 1.72048$。边长为 6 时，面积约为 $1.72048 \times 36 \approx 61.9372$。

五边形的边心距是什么？

边心距是从中心到一边中点的距离。对于正五边形，它等于 $\frac{s}{2\tan(36^\circ)} \approx 0.68819\,s$，因此边长为 1 时边心距约为 $0.6882$。

正五边形的周长是多少？

由于五条边都相等，周长就是边长的五倍：$P = 5s$。边长为 6 时周长为 30。