顶点式计算器

什么是顶点式计算器？

顶点式计算器接受以标准式书写的二次方程并将其改写为顶点式。标准式 $y = ax^2 + bx + c$ 便于读出 y 轴截距，而顶点式 $y = a(x - h)^2 + k$ 则立即揭示抛物线的转折点。点 $(h, k)$ 是顶点：当抛物线开口向上（$a > 0$）时是最低点，当它开口向下（$a < 0$）时是最高点。

此工具为您计算 $h$ 和 $k$，因此您无需手动配方即可绘制抛物线、求其对称轴，或读出其最小值或最大值。

公式

给定标准式的二次函数，顶点坐标为：

$h = -\frac{b}{2a} \qquad k = c - \frac{b^2}{4a}$

首项系数 $a$ 保持不变，因此顶点式为：

$y = a(x - h)^2 + k$

对称轴是竖直线 $x = h$。

如何使用

1. 输入系数 $a$（它不得为零，否则方程不是二次的）。
2. 输入系数 $b$ 和 $c$。
3. 读取计算出的顶点值 $h$ 和 $k$。顶点式即为 $y = a(x - h)^2 + k$。

在三个系数都填入且 $a \neq 0$ 之前，结果保持空白。

实例演算

将 $y = 2x^2 - 12x + 10$ 转换为顶点式。这里 $a = 2$、$b = -12$ 和 $c = 10$。

计算 $h$：

$h = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$

计算 $k$：

$k = c - \frac{b^2}{4a} = 10 - \frac{(-12)^2}{4 \cdot 2} = 10 - \frac{144}{8} = 10 - 18 = -8$

所以顶点是 $(3, -8)$，顶点式为：

$y = 2(x - 3)^2 - 8$

常见问题

为什么系数 a 不得为零？

如果 $a = 0$，$x^2$ 项消失，方程变为线性 $y = bx + c$，没有顶点。两个顶点公式也都要除以 $a$，因此 $a = 0$ 会使它们无定义。要改为分析直线，请参见 斜率计算器。

顶点与变化率有何关系？

在顶点处，抛物线的瞬时斜率为零，这就是为什么它是转折点。要衡量函数的输出在一个区间内而非单点处的变化，请使用 平均变化率计算器。