齿轮传动比计算器

什么是齿轮传动比计算器？

齿轮传动比计算器用于求出一对啮合齿轮如何用转速换取转动力。输入主动（输入）齿轮和从动（输出）齿轮的齿数，工具会以小数形式和熟悉的”对一”形式同时返回齿轮传动比。再加入输入转速或输入扭矩，它还会报告输出轴上的转速和扭矩。它省去了手工处理反比关系的麻烦，对设计变速箱、调校自行车传动系统或学习力学的人都很有用。

齿轮如何用转速换取扭矩

当两个齿轮啮合时，它们的轮齿以相同的速度通过接触点，因此齿数更多的齿轮转得更慢。所以一个小的主动齿轮带动一个大的从动齿轮，会产生更慢但更强的输出：转速下降，扭矩按相同的倍数上升。把布置反过来，就得到相反的结果，即一个转得更快但推力更小的超速挡。齿轮传动比只是表征这一交换的数字。置于输入和输出之间的惰轮可以改变旋转方向，但因为它两侧都啮合，所以不改变总传动比。

计算器如何工作？

计算器首先用从动齿轮的齿数除以主动齿轮的齿数得到传动比。由于转速与齿数成反比，它用输入转速除以传动比来求输出转速。扭矩按相反方向缩放，因此它用输入扭矩乘以传动比来求输出扭矩。如果主动齿轮留空或设为零，则传动比无定义，结果保持为空。

公式

具有 $N_\text{in}$ 个齿的主动齿轮与具有 $N_\text{out}$ 个齿的从动齿轮之间的齿轮传动比 $i$ 为：

$i = \frac{N_\text{out}}{N_\text{in}}$

输出转速 $\omega_\text{out}$ 由输入转速 $\omega_\text{in}$ 得出：

$\omega_\text{out} = \frac{\omega_\text{in}}{i} = \omega_\text{in}\,\frac{N_\text{in}}{N_\text{out}}$

输出扭矩 $\tau_\text{out}$ 由输入扭矩 $\tau_\text{in}$ 得出：

$\tau_\text{out} = i\,\tau_\text{in} = \tau_\text{in}\,\frac{N_\text{out}}{N_\text{in}}$

其中：

• $N_\text{in}$ 是主动（输入）齿轮的齿数，
• $N_\text{out}$ 是从动（输出）齿轮的齿数，
• $i$ 是齿轮传动比，
• $\omega_\text{in}$ 和 $\omega_\text{out}$ 是输入和输出转速，
• $\tau_\text{in}$ 和 $\tau_\text{out}$ 是输入和输出扭矩。

大于一的传动比是减速（更慢、更强的输出）；小于一的传动比是超速（更快、更弱的输出）。

示例

示例 1：主动齿轮有 $N_\text{in} = 10$ 个齿，与有 $N_\text{out} = 40$ 个齿的从动齿轮啮合。求齿轮传动比。

1. 将齿数代入公式： $i = \frac{N_\text{out}}{N_\text{in}} = \frac{40}{10}$

2. 结果为 $i = 4$，写作 $4 : 1$。从动齿轮每转一圈，输入齿轮转四圈。

示例 2：用同样的 $10 \to 40$ 齿轮对，输入轴以 $\omega_\text{in} = 1200$ rpm 旋转并输出 $\tau_\text{in} = 5$ N·m 的扭矩。求输出转速和扭矩。

1. 输出转速除以传动比： $\omega_\text{out} = \frac{1200}{4} = 300 \ \text{rpm}$

2. 输出扭矩乘以传动比： $\tau_\text{out} = 4 \times 5 = 20 \ \text{N·m}$

3. 输出轴转速慢四倍，但输出四倍的扭矩。

注意

• 大于 $1$ 的传动比降低转速并提高扭矩；小于 $1$ 的传动比则相反。恰好 $1 : 1$ 的传动比原样传递转速和扭矩。
• 转速和扭矩关系假设齿轮对理想且无损耗。实际齿轮因摩擦损失几个百分点，因此实际输出扭矩略低。
• 对于多级齿轮系，将各级传动比相乘即得总传动比。
• 由于传动比只取决于齿数，你同样可以使用齿轮的分度圆直径或半径，它们与齿数成正比。

常见问题

哪个齿轮是”主动”齿轮？

主动（输入）齿轮是连接到动力源（如电机或踏板）的那个。从动（输出）齿轮是它带动的、连接到负载的那个。

4:1 的齿轮传动比意味着什么？

它意味着从动齿轮每完成一圈，主动齿轮必须完成四整圈。因此输出转速慢四倍，并在理想情况下输出四倍的扭矩。

加入惰轮会改变传动比吗？

不会。置于输入齿轮和输出齿轮之间的惰轮会反转输出的旋转方向，但因为它与两个齿轮都啮合，所以总传动比保持不变。

如何从一对齿轮获得更大的扭矩？

使用更大的从动齿轮或更小的主动齿轮，使传动比超过一。这样输出转得更慢，但扭矩成比例增大。

齿轮传动比可以小于一吗？

可以。当从动齿轮的齿数少于主动齿轮时，传动比降到一以下。这是超速：输出比输入转得更快，但输出的扭矩更小。

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