概率计算器

什么是概率计算器？

概率计算器在您知道每个事件各自的概率后，计算两个事件的组合出现的可能性有多大。您将事件 $A$ 的概率和事件 $B$ 的概率以百分比输入，计算器返回四个组合概率：两个事件同时发生、至少其中之一发生、都不发生，以及 $A$ 发生而 $B$ 不发生。

该工具假设这两个事件是独立的——其中一个的结果对另一个的结果没有影响。掷骰子和抛硬币，或两台各有固定故障率的独立机器，都是独立事件的经典例子。

计算器如何工作？

您提供两个输入，每个介于 0% 到 100% 之间：

• P(A) — 事件 $A$ 发生的概率。
• P(B) — 事件 $B$ 发生的概率。

由于事件相互独立，联合概率直接由乘法得出。以百分比运算时，每个乘积都除以 100，以使结果保持在 0–100% 的范围内。然后计算器报告：

• P(A and B) — 两个事件都发生。
• P(A or B) — 两个事件中至少一个发生。
• P(neither A nor B) — 两个事件都不发生。
• P(A but not B) — $A$ 发生而 $B$ 不发生。

公式

对于概率为 $p_A$ 和 $p_B$（写作小数）的两个独立事件：

$$P(A \cap B) = p_A \cdot p_B$$ $$P(A \cup B) = p_A + p_B - p_A \cdot p_B$$ $$P(\text{neither}) = (1 - p_A)(1 - p_B)$$ $$P(A \cap \lnot B) = p_A \cdot (1 - p_B)$$

当输入以百分比录入时，每个乘积项都除以 100。例如 $P(A \cap B) = \dfrac{P(A) \cdot P(B)}{100}$，其中 $P(A)$ 和 $P(B)$ 以百分比表示。

实例演算

1. 两枚公平硬币，P(A) = P(B) = 50%。 都是正面：$50 \times 50 / 100 = 25\%$。至少一次正面：$50 + 50 - 25 = 75\%$。都不是正面：$50 \times 50 / 100 = 25\%$。第一枚正面但第二枚不是：$50 \times 50 / 100 = 25\%$。

2. P(A) = 20%，P(B) = 30%。 都发生：$20 \times 30 / 100 = 6\%$。任一发生：$20 + 30 - 6 = 44\%$。都不发生：$80 \times 70 / 100 = 56\%$。A 发生但 B 不发生：$20 \times 70 / 100 = 14\%$。

注解

• 这四个结果是相互关联的：$P(A \cup B)$ 和 $P(\text{neither})$ 总是相加为 100%，因为”至少一个”和”一个都没有”是互补的结果。
• 独立性是关键假设。如果知道 $A$ 发生了会改变 $B$ 的概率，那么这些事件就是相依的，您需要改用条件概率——请参阅贝叶斯定理计算器。
• 若要将同一事件在多次重复试验中组合（例如连续多次掷硬币），请使用掷硬币概率计算器，它应用二项分布。

常见问题

这些概率必须相加为 100% 吗？ 不必。$P(A)$ 和 $P(B)$ 是独立的输入，每个都可以是 0% 到 100% 之间的任意值。它们描述的是两个独立的事件，而非一个事件的两种结果。

这里”独立”是什么意思？ 当一个事件的发生不改变另一个事件的概率时，两个事件就是独立的。只有在独立的情况下，$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ 才成立。

我该如何处理互斥事件？ 如果两个事件不能同时发生，它们就不是独立的，且 $P(A \cap B) = 0$。该计算器专为独立事件设计，因此不是处理互斥事件的合适工具。