t 统计量计算器

什么是 t 统计量？

t 统计量衡量样本均值偏离假设总体均值的程度，并以样本自身的变异性进行标度。它是单样本 t 检验的核心：你收集一个样本，将其均值与目标值比较，t 统计量便以标准误为单位告诉你这一差距有多么出人意料。t 统计量接近 0 表示样本均值接近总体均值；较大的正值或负值表示样本远离总体均值。

t 统计量与 Z 分数密切相关，但它使用样本标准差而非已知的总体标准差。正是这一替代使得 t 分布得以存在：它的尾部比正态分布略重，以考虑从小样本估计离散程度时带来的额外不确定性。

计算器如何工作？

输入样本均值、用于比较的总体均值、样本标准差和样本量。计算器返回单样本 t 统计量：

$$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$$

其中：

• x̄ 是样本均值。
• μ₀ 是零假设中陈述的总体均值。
• s 是样本标准差，必须大于零。
• n 是样本量，必须至少为一。

分母 s / √n 是均值的标准误——样本均值与真实均值之间的典型距离。将原始差值除以标准误，便将其转换为一个无量纲的检验统计量，可与自由度为 n − 1 的 t 分布进行比较。

计算示例

1. 高于目标的样本。 一个 n = 25 的样本均值为 x̄ = 130，总体均值为 μ₀ = 120，样本标准差为 s = 15。 $t = \frac{130 - 120}{15 / \sqrt{25}} = \frac{10}{3} \approx 3.3333$ 样本均值大约高于假设均值 3.33 个标准误。

2. 微小的正向偏移。 当 x̄ = 10.5、μ₀ = 10、s = 2、n = 16 时： $t = \frac{10.5 - 10}{2 / \sqrt{16}} = \frac{0.5}{0.5} = 1$ 样本均值恰好高于目标 1 个标准误。

3. 低于目标的样本。 当 x̄ = 98、μ₀ = 100、s = 5、n = 25 时： $t = \frac{98 - 100}{5 / \sqrt{25}} = \frac{-2}{1} = -2$ 负号表示样本均值低于假设均值 2 个标准误。

实用说明

• 样本标准差必须为正。值为零意味着数据没有离散度，这会使标准误——以及 t 统计量——无法定义。
• 要判断显著性，可将 t 统计量与自由度为 n − 1 的 t 分布的临界值比较，或将其转换为 p 值。
• 对于大样本，t 分布收敛于正态分布，因此 t 统计量与 Z 分数几乎相同。
• 当将单个样本均值与固定参考值比较时，使用此单样本公式；双样本检验使用不同的分母。

常见问题

t 统计量可以为负吗？

可以。负的 t 统计量只是表示样本均值低于你所比较的总体均值。符号表示方向，而大小表示以标准误为单位的距离。

t 统计量与 Z 分数有什么区别？

两者都衡量与参考值的距离，但 Z 分数除以已知的总体标准差，而 t 统计量除以由样本标准差构造的标准误。当总体标准差未知时，t 统计量是正确的选择。已知总体标准差的情形请参见 Z 分数计算器。

什么是自由度？

对于单样本 t 检验，自由度等于 n − 1。它描述了你用来比较统计量的 t 分布的形状：自由度越少，尾部越重，检验越保守。

为什么样本标准差必须大于零？

公式要除以标准误 s / √n。如果 s 为零，除法将无法定义，而没有变异性的样本无法支撑有意义的检验。