Entnahme-Rechner für Kapitalanlagen

Was ist ein Entnahme-Rechner für Kapitalanlagen?

Ein Entnahme-Rechner für Kapitalanlagen – auch Auszahlungs- oder Kapitalverzehr-Rechner genannt – beantwortet eine zentrale Frage der Ruhestandsplanung: Wenn ich einem Guthaben, das weiterhin eine Rendite erwirtschaftet, einen festen Betrag entnehme, wie lange reicht das Geld dann? Sie geben ein, was Sie heute besitzen, welche Rendite Sie erwarten, wie viel Sie je Periode entnehmen und wie oft. Der Rechner nennt die Zeitspanne, bis das Guthaben aufgebraucht ist, oder meldet, dass es sich selbst trägt und niemals endet.

Er ist das Spiegelbild einer Sparprognose. Ein Endwert-Rechner lässt ein Guthaben nach vorne wachsen, während Sie einzahlen; ein Entnahme-Rechner baut das Guthaben ab, während Sie Geld entnehmen, und verrechnet jede Entnahme mit der Rendite, die das verbleibende Guthaben erwirtschaftet.

Wie funktioniert der Rechner?

Sie geben einen Anfangssaldo, eine jährliche Rendite, die Höhe jeder Entnahme und die Häufigkeit der Entnahmen an (monatlich, vierteljährlich oder jährlich). Der Rechner rechnet die Jahresrendite in einen Satz je Entnahmeperiode um und ermittelt dann, wie viele Perioden das Guthaben die Entnahme tragen kann, bevor es null erreicht.

In jeder Periode geschehen zwei Dinge: Das Guthaben erwirtschaftet eine Rendite, und Sie entnehmen einen Betrag. Ist die Entnahme größer als die erzielte Rendite, schrumpft das Guthaben ein wenig; wiederholt man das, ist es irgendwann leer. Ist die Entnahme kleiner als oder gleich der Rendite, sinkt das Guthaben nie – Sie leben allein von den Erträgen – und der Rechner meldet, dass es unbegrenzt reicht. Die endgültige Periodenzahl wird in eine natürliche Zeitangabe wie „10 Jahre und 2 Monate“ umgewandelt.

Formel

Bei einem Anfangssaldo $PV$, einer je Periode entnommenen Summe $PMT$ und einer Rendite $r$ je Periode beträgt die Anzahl der Perioden $n$ bis zur Erschöpfung des Guthabens:

$n = -\frac{\ln\!\left(1 - \dfrac{PV \cdot r}{PMT}\right)}{\ln(1 + r)}$

Dabei ist:

• $PV$ der Anfangssaldo.
• $PMT$ der je Periode entnommene Betrag.
• $r$ der Renditesatz je Periode.
• $n$ die Anzahl der Entnahmeperioden, die das Guthaben reicht.

Der Periodensatz ergibt sich aus der Jahresrendite und der Anzahl der Entnahmen pro Jahr $k$ (12 monatlich, 4 vierteljährlich, 1 jährlich):

$r = \frac{\text{annual rate}}{100 \cdot k}$

Wenn das Guthaben nie aufgebraucht wird

Die Größe $PV \cdot r$ ist die Rendite, die das Guthaben in einer Periode erwirtschaftet. Übersteigt die Entnahme sie nicht, trägt sich das Guthaben selbst:

$PMT \le PV \cdot r \;\Rightarrow\; \text{lasts indefinitely}$

Mathematisch wird der Ausdruck im Logarithmus null oder negativ und $n$ ist undefiniert – das ist für den Rechner das Signal, eine unbegrenzte Laufzeit zu melden.

Rendite von null

Bei einer Rendite von null würde die Formel durch null teilen, also fällt sie auf eine einfache Division zurück – das Guthaben wird schlicht gleichmäßig auf die Entnahmen verteilt:

$n = \frac{PV}{PMT}$

Anwendungsbeispiele

1. Ein Guthaben von 100.000 mit 4 % Rendite pro Jahr, bei einer Entnahme von 1.000 am Ende jedes Monats:

   • Anfangssaldo $PV$ = 100000
   • Periodensatz $r = \dfrac{4}{100 \cdot 12} \approx 0.0033333$
   • Entnahme $PMT$ = 1000

   Da $PV \cdot r = 333{,}33$ kleiner ist als die Entnahme von 1.000, wird das Guthaben aufgebraucht:

   $n = -\frac{\ln\!\left(1 - \dfrac{100000 \cdot 0.0033333}{1000}\right)}{\ln(1.0033333)} = -\frac{\ln(0.66667)}{0.0033278} \approx 121.8 \text{ months}$

   Das sind etwa 10 Jahre und 2 Monate, und insgesamt werden in dieser Zeit rund $1000 \times 121.8 \approx 121{,}842$ entnommen.

2. Dasselbe Guthaben von 100.000 mit 6 % Rendite pro Jahr, aber einer Entnahme von nur 400 im Monat:

   • Periodensatz $r = \dfrac{6}{100 \cdot 12} = 0.005$
   • Monatlich erwirtschaftete Rendite $PV \cdot r = 100000 \times 0.005 = 500$

   Die Entnahme von 400 ist kleiner als die erzielten 500, also wächst das Guthaben sogar, statt zu schrumpfen. Der Rechner meldet, dass das Guthaben unbegrenzt reicht.

Praktische Hinweise

• Das Ergebnis setzt in jeder Periode eine konstante Rendite voraus. Reale Märkte liefern keinen gleichmäßigen Satz, und eine Serie schwacher Renditen zu Beginn (Renditereihenfolge-Risiko) kann ein Guthaben weit schneller leeren, als der Durchschnittssatz vermuten lässt.
• Die Entnahmen sind hier nominal. Wenn Sie jedes Jahr dieselbe Kaufkraft benötigen, erhöhen Sie die Entnahme um die Inflation und behandeln Sie die Rendite als realen (inflationsbereinigten) Satz.
• Der Break-even-Punkt liegt dort, wo die Entnahme der erzielten Rendite entspricht, $PMT = PV \cdot r$. Entnehmen Sie eine Spur weniger, hält das Guthaben ewig; eine Spur mehr, und es geht irgendwann zur Neige.
• Eine grobe Faustregel, von der viele Planer ausgehen, ist eine jährliche Entnahme von etwa 4 % des Anfangssaldos – bewusst unter den üblichen langfristigen Renditen, damit das Guthaben einen langen Ruhestand übersteht.

Häufige Fragen

Was bedeutet „reicht unbegrenzt“?

Es bedeutet, dass die Entnahme klein genug ist, damit die Rendite, die das Guthaben je Periode erwirtschaftet, sie deckt – das Guthaben sinkt also nie auf null. Sie geben faktisch nur den Zuwachs aus und lassen das Kapital unangetastet.

Soll ich eine nominale oder eine reale Rendite verwenden?

Verwenden Sie diejenige, die zu Ihren Entnahmen passt. Ist Ihr Entnahmebetrag in heutigem Geld fixiert und steigt nie, hält eine reale (inflationsbereinigte) Rendite die Prognose ehrlich. Wächst die Entnahme selbst mit der Inflation, modellieren Sie das separat – eine einzelne feste Entnahme kann das nicht abbilden.

Warum ist die Antwort kürzer, als wenn ich das Guthaben durch die Entnahme teile?

Nur bei einer Rendite von null reicht das Guthaben genau $PV / PMT$ Perioden. Bei positiver Rendite verlängern die Erträge die Laufzeit, sodass das Guthaben länger reicht als eine einfache Division – es sei denn, die Entnahme ist so groß, dass sie die Rendite überdeckt; dann liegen beide Werte nah beieinander.