Kreissegment-Flächenrechner

Was ist ein Kreissegment?

Ein Kreissegment ist der Bereich einer Kreisscheibe, der von einer Sehne und dem Bogen begrenzt wird, den die Sehne abschneidet. Stellen Sie sich ein vollständiges Tortenstück vor (einen Sektor) und entfernen Sie dann den dreieckigen Keil, der die beiden Endpunkte des Bogens mit dem Mittelpunkt verbindet — was übrig bleibt, ist das Segment. Es ist die gekrümmte „Kappe”, die zwischen der Sehne und dem Bogen liegt.

Das Segment hängt von zwei Werten ab: dem Radius $r$ des Kreises und dem Zentralwinkel $\theta$, der von der Sehne im Mittelpunkt aufgespannt wird. Der Winkel kann in Grad, Radianten oder Neugrad angegeben werden; dieser Rechner führt die Umrechnung intern durch.

Wichtige Konzepte

• Radius (r) — der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu einem Punkt auf seiner Grenze.
• Zentralwinkel (θ) — der Winkel, der im Mittelpunkt durch die beiden zu den Endpunkten der Sehne gezogenen Radien gebildet wird.
• Sehne — die gerade Linie, die die beiden Endpunkte des Bogens verbindet.
• Bogen — die gekrümmte Grenze des Segments, gegenüber der Sehne.
• Sektor — der tortenstückförmige Bereich, der durch den Bogen und die beiden Radien begrenzt wird.
• Dreieck — das gleichschenklige Dreieck mit zwei Seiten der Länge $r$ und dem eingeschlossenen Winkel $\theta$.

Wie funktioniert der Rechner?

Das Segment ist das, was übrig bleibt, wenn das Dreieck aus dem Sektor entfernt wird:

Mit $\theta$ in Radianten beträgt die Sektorfläche $\frac{1}{2} r^2 \theta$ und die Fläche des gleichschenkligen Dreiecks, das aus den beiden Radien gebildet wird, $\frac{1}{2} r^2 \sin\theta$. Die Differenz dieser beiden Werte ergibt die Standardformel.

Formel

Wenn $\theta$ in Radianten ist:

Wenn $\theta$ in Grad angegeben ist, wird er zunächst mit $\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \cdot \frac{\pi}{180}$ in Radianten umgerechnet, bevor er in die Formel eingesetzt wird.

Berechnungsbeispiele

Beispiel 1: kleines Segment, 60°

Ein Kreis hat einen Radius von 10 cm. Die Sehne schneidet einen Zentralwinkel von 60° ab.

Umrechnung: $\theta_{\text{rad}} = 60° \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1{,}0472$.

Beispiel 2: Halbkreis, π Radianten

Für einen Radius von 5 cm und einen Zentralwinkel von $\pi$ Radianten (180°) ist die Sehne ein Durchmesser und das Segment ist genau die Hälfte der Kreisscheibe:

Beispiel 3: Viertelkreis minus Dreieck, 90°

Für einen Radius von 10 cm und einen Zentralwinkel von 90°:

Dies entspricht der Intuition: Der Viertelsektor hat eine Fläche von $25\pi \approx 78{,}54$ cm², das rechtwinklige Dreieck hat eine Fläche von $50$ cm², und die Differenz ist das Segment.

Praktische Anwendungen

• Ingenieurwesen — Berechnung der Querschnittsflächen teilweise gefüllter kreisförmiger Tanks oder Rohre für Strömungsprobleme (dies ist dieselbe Berechnung, die der Kreisflächenrechner verwendet, wenn nur ein Teil gefüllt ist).
• Bauwesen und Architektur — Dimensionierung von Fenstern, Bögen und vertieften Details, bei denen die gekrümmte Kappe eines Kreises ein Gestaltungselement ist.
• Fertigung — Materialkalkulation für gestanzte, geschnittene oder maschinell bearbeitete Teile in Form einer Kreiskappe.
• Tiefbau — Schätzung der Erdarbeitsvolumen für kreisförmige Kanalquerschnitte, die nicht voll sind.
• Geometrie und Trigonometrie — Überprüfung der Beziehung zum Kreissektor-Flächenrechner und zum Sehnenlängenrechner.

Hinweise

• Der Winkel muss positiv sein. Ein Winkel von 0° ergibt ein entartetes Segment mit der Fläche null.
• Für $\theta = 2\pi$ (360°) liefert die Formel die Fläche des gesamten Kreises.
• Das „kleinere” Segment entspricht Winkeln unter 180°. Bei Winkeln über 180° ergibt die Formel das größere „Hauptsegment”, das den Mittelpunkt einschließt.
• Die Einheiten von Radius und Fläche müssen konsistent sein: Ein Radius in Metern erzeugt eine Fläche in Quadratmetern. Beim Wechsel der Einheitenauswahl wird das Ergebnis automatisch umgerechnet.
• Das Ergebnis ist bis zur Genauigkeit von $\pi$ und der Sinusfunktion exakt; Rundungsfehler sind für den täglichen Gebrauch vernachlässigbar.