Kombinationen-Rechner

Was ist ein Kombinationen-Rechner?

Ein Kombinationen-Rechner ermittelt, auf wie viele verschiedene Arten man eine Gruppe von Elementen aus einer größeren Menge auswählen kann, wenn die Reihenfolge der Auswahl keine Rolle spielt. Diese Größe wird als Anzahl der Kombinationen bezeichnet, geschrieben als ${}^{n}C_{r}$, “n über r”, oder mit dem Binomialkoeffizienten $\binom{n}{r}$. Dabei ist $n$ die Gesamtzahl der verfügbaren Elemente und $r$ die Anzahl der Elemente, die Sie auswählen.

Kombinationen treten immer dann auf, wenn es nur darauf ankommt, welche Elemente zusammen ausgewählt werden, nicht aber auf die Reihenfolge, in der sie ausgewählt wurden. Wählt man 2 Beläge aus 5 aus, ergibt sich dieselbe Pizza, egal welchen Belag man zuerst nennt, also handelt es sich um ein Kombinationsproblem. Wenn die Reihenfolge eine Rolle spielen würde, würde man stattdessen Permutationen zählen.

Wie funktioniert es?

Geben Sie die Gesamtzahl der Elemente $n$ und die Anzahl der auszuwählenden Elemente $r$ ein, und der Rechner liefert sofort ${}^{n}C_{r}$. Beide Werte müssen ganze Zahlen sein, und $r$ darf nicht größer als $n$ sein — Sie können nicht mehr Elemente auswählen, als Sie haben. Wenn $r > n$ ist oder eines der Felder leer bleibt, bleibt das Ergebnis leer.

Formel

Die Anzahl der Kombinationen wird durch den Binomialkoeffizienten angegeben:

${}^{n}C_{r} = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$

Dabei ist $n!$ (n Fakultät) das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis $n$, sodass $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$. Per Konvention gilt $0! = 1$, weshalb das Auswählen von null Elementen oder das Auswählen aller Elemente immer genau eine Kombination ergibt.

Einige nützliche Identitäten folgen direkt aus der Formel:

1. $\binom{n}{0} = 1$ — es gibt eine Möglichkeit, nichts auszuwählen.
2. $\binom{n}{n} = 1$ — es gibt eine Möglichkeit, alles auszuwählen.
3. $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ — $r$ Elemente zum Behalten auszuwählen ist dasselbe wie $n-r$ Elemente zum Weglassen auszuwählen.

Anwendungsbeispiele

1. Beispiel 1: Wählen Sie 2 Elemente aus 5. $\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10$.
2. Beispiel 2: Wählen Sie 3 Elemente aus 10. $\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!\,7!} = \frac{3628800}{6 \times 5040} = 120$.
3. Beispiel 3: Wählen Sie alle 5 aus 5. $\binom{5}{5} = \frac{5!}{5!\,0!} = 1$.
4. Beispiel 4: Wählen Sie 0 aus 5. $\binom{5}{0} = \frac{5!}{0!\,5!} = 1$.

Praktische Hinweise

• Kombinationen zählen ungeordnete Auswahlen. Wenn die Anordnung eine Rolle spielt — zum Beispiel beim Platzieren von Personen in einer Reihe — verwenden Sie Permutationen, wobei ${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$.
• Die Werte wachsen aufgrund der Fakultäten schnell, sodass selbst moderate Eingaben sehr große Zahlen ergeben können.
• Kombinationen bilden die Grundlage für Wahrscheinlichkeitsrechnung, die Binomialverteilung, Lottochancen, das Zählen von Kartenhänden und kombinatorische Designprobleme.

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Kombinationen und Permutationen?

Bei Kombinationen spielt die Reihenfolge der ausgewählten Elemente keine Rolle, sodass $\{A, B\}$ und $\{B, A\}$ als eine Auswahl gelten. Bei Permutationen ist die Reihenfolge wichtig, sodass sie als zwei zählen. Daher gibt es für dieselben $n$ und $r$ immer mindestens so viele Permutationen wie Kombinationen.

Warum ist das Auswählen von 0 Elementen gleich 1?

Weil $0! = 1$ ist, ergibt die Formel $\binom{n}{0} = \frac{n!}{0!\,n!} = 1$. Anschaulich gibt es genau eine Möglichkeit, gar nichts auszuwählen — die leere Auswahl.

Kann r größer als n sein?

Nein. Sie können nicht mehr Elemente auswählen, als in der Menge vorhanden sind, sodass $\binom{n}{r}$ nur für $0 \le r \le n$ definiert ist. Dieser Rechner liefert ein leeres Ergebnis, wenn $r > n$ ist.