Permutationsrechner

Was ist ein Permutationsrechner?

Ein Permutationsrechner sagt Ihnen, wie viele verschiedene geordnete Anordnungen Sie erstellen können, indem Sie $r$ Elemente aus einer größeren Menge von $n$ verschiedenen Elementen auswählen. Da die Reihenfolge eine Rolle spielt, wird die Wahl von Element A und dann B getrennt von der Wahl von B und dann A gezählt.

Permutationen treten immer dann auf, wenn Sie Sequenzen zählen müssen: das Vergeben von Gold-, Silber- und Bronzemedaillen an Läufer, das Auswählen eines Präsidenten, Vizepräsidenten und Schatzmeisters aus einem Verein oder das Ermitteln, wie viele verschiedene Passwörter oder PIN-Anordnungen möglich sind.

Wie funktioniert es?

Geben Sie die Gesamtzahl der Elemente $n$ ein und wie viele Sie anordnen möchten $r$. Der Rechner wertet die Standard-Permutationsformel aus und liefert das Ergebnis sofort. Er erwartet ganze, nicht-negative Zahlen und erfordert $r \le n$ — Sie können nicht mehr Elemente anordnen, als Sie haben.

Die Anzahl der Permutationen von $r$ aus $n$ ausgewählten Elementen beträgt:

${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$

Hier ist $n!$ (gelesen „n Fakultät”) das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis $n$, und $0! = 1$ per Definition. Anders als eine Kombination unterscheidet eine Permutation zwischen verschiedenen Reihenfolgen derselben Auswahl.

Anwendungsbeispiele

• n = 5, r = 2. ${}^{5}P_{2} = \frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20$ geordnete Paare.
• n = 10, r = 3. ${}^{10}P_{3} = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$ Anordnungen.
• n = 5, r = 5. ${}^{5}P_{5} = \frac{5!}{0!} = 120$, was einfach $5!$ ist — jede vollständige Anordnung aller fünf Elemente.
• n = 5, r = 0. ${}^{5}P_{0} = \frac{5!}{5!} = 1$, die einzige „leere” Anordnung.

Wenn Sie nach $r > n$ fragen — zum Beispiel $n = 3$ und $r = 5$ — bleibt das Ergebnis leer, weil es keine gültige Anordnung gibt.

Praktische Hinweise

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt, möchten Sie stattdessen eine Kombination, die die Permutationszahl durch $r!$ teilt, um doppelte Reihenfolgen zu entfernen. Der Baustein beider ist die Fakultät, und das Wachstum dieser Zahlen ist eng mit der wiederholten Multiplikation verknüpft, die im Exponenten-Rechner untersucht wird.

Da Fakultäten sehr schnell wachsen, können Permutationszahlen enorm werden: ${}^{20}P_{20} = 20!$ übersteigt bereits $2.4 \times 10^{18}$. Für große $n$ ist das Ergebnis eine durch die Gleitkommagenauigkeit begrenzte Näherung.