Fakultät-Rechner

Was ist ein Fakultät-Rechner?

Ein Fakultät-Rechner ermittelt die Fakultät einer nicht-negativen ganzen Zahl, geschrieben als $n!$ und gelesen als „n Fakultät”. Die Fakultät ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von $1$ bis einschließlich $n$. Geben Sie einen Wert für $n$ ein, und der Rechner liefert sofort $n!$.

Fakultäten wachsen extrem schnell: $5!$ ergibt bereits $120$, und $10!$ übersteigt drei Millionen. Aufgrund dieses rapiden Wachstums treten Fakultäten überall in der Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Algebra und Analysis auf, wann immer Sie die Anzahl der Anordnungsmöglichkeiten von Objekten zählen müssen.

Wie funktioniert es?

Die Fakultät ist definiert als das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis $n$:

$n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$

Es gibt einen wichtigen Sonderfall. Die Fakultät von null ist definitionsgemäß gleich eins:

$0! = 1$

Dies ist kein Zufall und keine nachträglich hinzugefügte Ausnahme. Es gibt genau eine Möglichkeit, null Objekte anzuordnen (die leere Anordnung), sodass $0! = 1$ die Zählformeln konsistent hält. Es folgt auch aus der rekursiven Regel $n! = n \times (n-1)!$: Setzt man $n = 1$, erhält man $1! = 1 \times 0!$, was nur dann gilt, wenn $0! = 1$ ist.

Fakultäten sind nur für nicht-negative ganze Zahlen definiert. Eine negative Zahl oder ein Bruch wie $2.5$ hat keine gewöhnliche Fakultät, daher lässt der Rechner das Ergebnis für solche Eingaben leer. (Die Gammafunktion erweitert die Idee auf andere Zahlen, aber das geht über eine grundlegende Fakultät hinaus.)

Durchgerechnete Beispiele

• $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
• $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$
• $10! = 10 \times 9 \times 8 \times \cdots \times 2 \times 1 = 3{,}628{,}800$
• $1! = 1$
• $0! = 1$

Beachten Sie den rekursiven Trick: Sobald Sie $5! = 120$ kennen, ist die Berechnung von $6!$ einfach $6 \times 120 = 720$, und $10!$ baut sich auf dieselbe Weise Schritt für Schritt auf.

Praktische Anmerkungen

Fakultäten sind der Motor hinter Permutationen und Kombinationen. Die Anzahl der Möglichkeiten, $n$ verschiedene Objekte in einer Reihenfolge anzuordnen, beträgt $n!$, und die Formeln für Permutationen $P(n, r)$ und Kombinationen $C(n, r)$ werden beide mithilfe von Fakultäten ausgedrückt. Wenn Sie Anordnungen oder Auswahlen zählen, sehen Sie sich den Permutationen-Rechner unter https://www.mega-calculator.com/de/math/permutations/ und den Kombinationen-Rechner unter https://www.mega-calculator.com/de/math/combinations/ an.

Da Fakultäten in ihrer Größe explodieren, akzeptiert dieser Rechner Werte bis $170$. Darüber hinaus übersteigt $n!$ den größten endlichen Wert, den eine standardmäßige Computerzahl darstellen kann, sodass das Ergebnis leer gelassen statt als unendlich angegeben wird. Für alltägliche Zähl- und Wahrscheinlichkeitsaufgaben ist dieser Bereich mehr als ausreichend.