Bruch-in-Verhältnis-Rechner

Was ist ein Bruch-in-Verhältnis-Rechner?

Ein Bruch-in-Verhältnis-Rechner wandelt einen Bruch wie $6/8$ in ein gleichwertiges Verhältnis um, das mit einem Doppelpunkt geschrieben wird, etwa $3 : 4$. Ein Bruch und ein Verhältnis beschreiben dieselbe Beziehung zwischen zwei Größen, sodass $\tfrac{6}{8}$ und $6 : 8$ derselbe Vergleich sind. Der Rechner macht einen zusätzlichen Schritt: Er kürzt das Verhältnis auf seine einfachste ganzzahlige Form, sodass die beiden Terme keinen gemeinsamen Faktor außer 1 teilen.

Der erste Term des Verhältnisses (der Teil, der aus dem Zähler stammt) wird als Vorderglied bezeichnet, und der zweite Term (aus dem Nenner) als Hinterglied.

Wie funktioniert es?

Der Bruch $\tfrac{n}{d}$ hat denselben Wert, egal mit welcher Zahl Sie beide Teile multiplizieren oder durch welche Sie sie teilen. Um ihn zu kürzen, teilen Sie sowohl den Zähler $n$ als auch den Nenner $d$ durch ihren größten gemeinsamen Teiler (ggT):

wobei $g = \gcd(n, d)$. Der ggT wird mit dem euklidischen Algorithmus gefunden, indem man wiederholt die größere Zahl durch den Rest der Division durch die kleinere ersetzt, bis der Rest null erreicht. Die beiden gekürzten Teile werden zum ersten und zweiten Term des Verhältnisses.

Der Nenner muss ungleich null sein, da ein Bruch mit einem Nenner von null nicht definiert ist.

Anwendung

1. Geben Sie den Zähler (die obere Zahl des Bruchs) ein.
2. Geben Sie den Nenner (die untere Zahl des Bruchs) ein.
3. Lesen Sie das gekürzte Verhältnis in der Form $n : d$ ab, zusammen mit dem getrennten ersten und zweiten Term.

Rechenbeispiele

Wandeln Sie $6/8$ um. Der ggT von 6 und 8 ist 2, teilen Sie also beide Terme durch 2:

Wandeln Sie $10/5$ um. Der ggT von 10 und 5 ist 5:

Ein Bruch, der bereits in niedrigsten Termen ist, bleibt unverändert. Für $3/4$ ist der ggT von 3 und 4 gleich 1, sodass das Verhältnis einfach $3 : 4$ ist, und $1/2$ wird zu $1 : 2$.

FAQ

Ist ein Verhältnis dasselbe wie ein Bruch? Sie drücken denselben Vergleich zwischen zwei Zahlen aus. Der Bruch $\tfrac{3}{4}$ und das Verhältnis $3 : 4$ sagen beide „3 für je 4”. Ein Bruch wird üblicherweise als einzelner Wert gelesen, während ein Verhältnis die Beziehung zwischen den beiden Teilen betont. Um den umgekehrten Weg zu gehen, von einem Verhältnis zurück zu einem Bruch, verwenden Sie eine Verhältnis-in-Bruch-Umrechnung, und eine Verhältnis-in-Dezimalzahl-Umrechnung gibt den Dezimalwert des Vergleichs an.

Warum wird das Verhältnis gekürzt? Das Kürzen ergibt eine eindeutige, kanonische Form. Die Verhältnisse $6 : 8$, $3 : 4$ und $30 : 40$ sind alle gleichwertig, aber $3 : 4$ ist die einfachste Art, sie zu schreiben, was derselben Idee folgt, die hinter einem Bruch-Kürzungsrechner steht.

Was ist mit negativen Zahlen? Der Rechner teilt durch den ggT der Absolutbeträge, sodass das Vorzeichen des ursprünglichen Bruchs sich auf den ersten Term des Verhältnisses überträgt.