Kosinussatz-Rechner

Was ist ein Kosinussatz-Rechner?

Der Kosinussatz-Rechner löst ein Dreieck, wenn du zwei seiner Seiten und den Winkel zwischen ihnen kennst (der Fall „Seite-Winkel-Seite”). Du gibst Seite $a$, Seite $b$ und den eingeschlossenen Winkel $C$ ein, und der Rechner liefert die Länge der dritten Seite $c$ zusammen mit den beiden übrigen Winkeln $A$ und $B$.

Der Kosinussatz ist eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras. Wenn der eingeschlossene Winkel genau $90°$ beträgt, verschwindet der Kosinusterm und die Formel fällt auf $c^2 = a^2 + b^2$ zurück, die vertraute Beziehung für ein rechtwinkliges Dreieck.

Wie funktioniert der Rechner?

Die dritte Seite ergibt sich direkt aus dem Kosinussatz:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

Das Ziehen der Quadratwurzel ergibt $c$:

$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos C}$

Sobald alle drei Seiten bekannt sind, wird der Seite $a$ gegenüberliegende Winkel durch Umstellen desselben Satzes ermittelt:

$A = \arccos\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$

Da die drei Innenwinkel eines jeden Dreiecks in der Summe $180°$ ergeben, folgt der letzte Winkel unmittelbar:

$B = 180° - A - C$

Der eingeschlossene Winkel $C$ muss strikt zwischen $0°$ und $180°$ liegen, und beide gegebenen Seiten müssen positiv sein, damit das Dreieck existiert.

Gelöste Beispiele

Rechtwinkliges Dreieck. Mit $a = 3$, $b = 4$ und $C = 90°$ fällt der Kosinusterm weg, sodass $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$. Die übrigen Winkel sind $A \approx 36.8699°$ und $B \approx 53.1301°$ und ergeben das klassische 3-4-5-Dreieck.

Schiefwinkliges Dreieck. Mit $a = 5$, $b = 7$ und $C = 60°$ erhalten wir $c = \sqrt{5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60°} = \sqrt{25 + 49 - 35} = \sqrt{39} \approx 6.2450$.

Praktische Hinweise

Der Kosinussatz ist am nützlichsten, wenn der Sinussatz keine Lösung beginnen kann — konkret in den Fällen Seite-Winkel-Seite und Seite-Seite-Seite, in denen keine Seite und ihr gegenüberliegender Winkel zugleich bekannt sind. Vermesser, Navigatoren und Ingenieure verlassen sich darauf, um Entfernungen über eine Basislinie zu berechnen, wenn nur zwei Schenkel und der Winkel zwischen ihnen gemessen werden können.

Wenn du stattdessen zwei Winkel und eine Seite oder zwei Seiten und einen nicht eingeschlossenen Winkel kennst, ist der Sinussatz das direktere Werkzeug. Für den Sonderfall des rechtwinkligen Dreiecks kannst du auch den Hypotenusen-Rechner verwenden, und um den Kosinus des eingeschlossenen Winkels für sich zu bestimmen, siehe den Trigonometrie-Rechner.