Sinussatz-Rechner

Was ist ein Sinussatz-Rechner?

Ein Sinussatz-Rechner löst ein Dreieck, wenn du einen Winkel, die ihm direkt gegenüberliegende Seite und einen zweiten Winkel kennst. Aus diesen drei Werten ermittelt er den dritten Winkel und die beiden fehlenden Seiten. Der Sinussatz ist die Beziehung, die die Winkel jedes Dreiecks mit den Längen der ihnen gegenüberliegenden Seiten verknüpft, sodass er für spitzwinklige, rechtwinklige und stumpfwinklige Dreiecke gleichermaßen gilt, nicht nur für rechtwinklige Dreiecke.

In diesem Rechner gibst du den Winkel $A$ in Grad ein, die Seite $a$ (die dem Winkel $A$ gegenüberliegende Seite) und den Winkel $B$ in Grad. Er gibt den Winkel $C$, die Seite $b$ und die Seite $c$ zurück.

Wie funktioniert er?

Der Sinussatz besagt, dass das Verhältnis jeder Seite zum Sinus ihres Gegenwinkels für alle drei Seiten eines Dreiecks gleich ist:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Da sich die Innenwinkel jedes Dreiecks zu $180^\circ$ addieren, folgt der dritte Winkel unmittelbar:

$C = 180^\circ - A - B$

Sobald jeder Winkel bekannt ist und eine gegenüberliegende Seite ($a$) gegeben ist, ergeben sich die übrigen Seiten direkt aus den obigen Verhältnissen:

$b = \frac{a \, \sin B}{\sin A} \qquad c = \frac{a \, \sin C}{\sin A}$

Damit diese Formeln ein echtes Dreieck beschreiben, müssen sowohl $A$ als auch $B$ positiv sein und ihre Summe muss kleiner als $180^\circ$ sein. Wenn $A + B \ge 180^\circ$ ist, gibt es kein gültiges Dreieck, und der Rechner lässt die Ergebnisse leer.

Gelöste Beispiele

Beispiel 1: ein 30-60-90-Dreieck

Angenommen $A = 30^\circ$, $a = 10$ und $B = 60^\circ$. Bestimme zuerst den fehlenden Winkel:

$C = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ$

Wende nun die Verhältnisse an. Da $\sin 30^\circ = 0.5$, $\sin 60^\circ \approx 0.8660$ und $\sin 90^\circ = 1$:

$b = \frac{10 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{10 \cdot 0.8660}{0.5} \approx 17.3205$

$c = \frac{10 \cdot \sin 90^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{10 \cdot 1}{0.5} = 20$

Also $C = 90^\circ$, $b \approx 17.3205$ und $c = 20$.

Beispiel 2: ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck

Mit $A = 45^\circ$, $a = 10$ und $B = 45^\circ$:

$C = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ$

Da $\sin 45^\circ = \sin B$ ist, ist die Seite $b$ gleich der Seite $a$:

$b = \frac{10 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 45^\circ} = 10$

$c = \frac{10 \cdot \sin 90^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{10}{0.7071} \approx 14.1421$

Das Dreieck hat zwei gleiche Seiten der Länge $10$ und eine Hypotenuse von etwa $14.1421$.

Praktische Hinweise

• Gib beide Winkel in Grad ein. Der Rechner rechnet sie intern um, bevor er den Sinus bildet.
• Die bekannte Seite $a$ muss die sein, die dem bekannten Winkel $A$ gegenüberliegt; andernfalls passen die Verhältnisse nicht zusammen.
• Dieses Werkzeug verwendet die Winkel-Winkel-Seite-(WWS-)Konfiguration, die stets ein einziges Dreieck liefert. Der kniffligere Seite-Seite-Winkel-(SSW-)„mehrdeutige Fall“ — bei dem zwei verschiedene Dreiecke passen können — wird hier nicht behandelt.
• Wenn du stattdessen zwei Seiten und den dazwischenliegenden Winkel kennst, greife zum Kosinussatz-Rechner, und für den reinen Sinus, Kosinus und Tangens eines einzelnen Winkels siehe den Trigonometrie-Rechner.

Häufig gestellte Fragen

Wann sollte ich den Sinussatz statt des Kosinussatzes verwenden?

Verwende den Sinussatz, wenn du einen Winkel zusammen mit der ihm gegenüberliegenden Seite kennst, plus einen weiteren Winkel oder eine weitere Seite (die WWS- oder WSW-Fälle). Verwende den Kosinussatz, wenn du zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel oder alle drei Seiten kennst.

Funktioniert der Sinussatz für nicht rechtwinklige Dreiecke?

Ja. Er gilt für jedes Dreieck — spitzwinklig, rechtwinklig und stumpfwinklig. Er ist eines der wichtigsten Werkzeuge zum Lösen von Dreiecken, die nicht rechtwinklig sind.

Warum sind meine Ergebnisse leer?

Die Ergebnisse bleiben leer, wenn ein Feld fehlt, wenn ein Winkel null oder negativ ist oder wenn der Winkel $A$ plus der Winkel $B$ gleich $180^\circ$ oder mehr ist, denn kein Dreieck kann diese Winkel haben.