Calculadora del área de un segmento circular

¿Qué es un segmento circular?

Un segmento circular es la región de un disco delimitada por una cuerda y el arco que la cuerda corta. Imagina un trozo completo de tarta (un sector) y luego retira la cuña triangular que conecta los dos extremos del arco con el centro — lo que queda es el segmento. Es la “tapa” curva que se encuentra entre la cuerda y el arco.

El segmento depende de dos valores: el radio $r$ del círculo y el ángulo central $\theta$ subtendido por la cuerda en el centro. El ángulo puede darse en grados, radianes o gradianes; esta calculadora realiza la conversión internamente.

Conceptos clave

• Radio (r) — la distancia desde el centro del círculo a un punto en su borde.
• Ángulo central (θ) — el ángulo formado en el centro por los dos radios trazados hasta los extremos de la cuerda.
• Cuerda — la línea recta que conecta los dos extremos del arco.
• Arco — el borde curvo del segmento, opuesto a la cuerda.
• Sector — la región con forma de porción de tarta delimitada por el arco y los dos radios.
• Triángulo — el triángulo isósceles con dos lados iguales a $r$ y el ángulo incluido $\theta$.

¿Cómo funciona la calculadora?

El segmento es lo que queda cuando se retira el triángulo del sector:

Con $\theta$ en radianes, el área del sector es $\frac{1}{2} r^2 \theta$ y el área del triángulo isósceles formado por los dos radios es $\frac{1}{2} r^2 \sin\theta$. Restando una de la otra se obtiene la fórmula estándar.

Fórmula

Si $\theta$ está en radianes:

Si $\theta$ se da en grados, primero se convierte a radianes con $\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \cdot \frac{\pi}{180}$ antes de sustituirlo en la fórmula.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: segmento pequeño, 60°

Un círculo tiene un radio de 10 cm. La cuerda corta un ángulo central de 60°.

Conversión: $\theta_{\text{rad}} = 60° \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1{,}0472$.

Ejemplo 2: semicírculo, π radianes

Para un radio de 5 cm y un ángulo central de $\pi$ radianes (180°), la cuerda es un diámetro y el segmento es exactamente la mitad del disco:

Ejemplo 3: cuarto de círculo menos triángulo, 90°

Para un radio de 10 cm y un ángulo central de 90°:

Esto coincide con la intuición: el sector cuarto tiene un área de $25\pi \approx 78{,}54$ cm², el triángulo rectángulo tiene un área de $50$ cm², y la diferencia es el segmento.

Usos prácticos

• Ingeniería — cálculo de áreas de sección transversal de tanques o tuberías circulares parcialmente llenos para problemas de flujo de fluidos (es el mismo cálculo utilizado por la calculadora del área del círculo cuando solo una porción está llena).
• Construcción y arquitectura — dimensionamiento de ventanas, arcos y detalles rehundidos donde la tapa curva de un círculo es un elemento de diseño.
• Fabricación — cotización de material para piezas estampadas, cortadas o mecanizadas con forma de tapa circular.
• Ingeniería civil — estimación de volúmenes de movimiento de tierras para secciones transversales de canales circulares que no están llenos.
• Geometría y trigonometría — verificación de la relación con la calculadora del área de un sector circular y la calculadora de longitud de la cuerda.

Notas

• El ángulo debe ser positivo. Un ángulo de 0° produce un segmento degenerado con área cero.
• Para $\theta = 2\pi$ (360°), la fórmula devuelve el área del círculo completo.
• El segmento “menor” corresponde a ángulos por debajo de 180°. Para ángulos por encima de 180°, la fórmula da el segmento “mayor” más grande que incluye el centro.
• Las unidades del radio y del área deben ser consistentes: un radio en metros produce un área en metros cuadrados. El selector de unidades reconvierte el resultado automáticamente.
• El resultado es exacto hasta la precisión de $\pi$ y la función seno; los errores de redondeo son insignificantes para el uso cotidiano.