Calculadora de combinaciones

¿Qué es una calculadora de combinaciones?

Una calculadora de combinaciones determina de cuántas formas diferentes se puede elegir un grupo de elementos de un conjunto mayor cuando el orden de selección no importa. Esta cantidad se denomina número de combinaciones, escrito como ${}^{n}C_{r}$, “n sobre r”, o con el coeficiente binomial $\binom{n}{r}$. Aquí $n$ es el número total de elementos disponibles y $r$ es cuántos de ellos eliges.

Las combinaciones aparecen siempre que solo importa qué elementos terminan juntos, no la secuencia en la que se eligieron. Elegir 2 ingredientes de 5 da la misma pizza sin importar cuál nombres primero, así que es un problema de combinaciones. Si el orden importara, estarías contando permutaciones en su lugar.

¿Cómo funciona?

Introduce el número total de elementos $n$ y el número que quieres elegir $r$, y la calculadora devuelve ${}^{n}C_{r}$ al instante. Ambos valores deben ser números enteros, y $r$ no puede ser mayor que $n$ — no puedes elegir más elementos de los que tienes. Si $r > n$, o cualquiera de los campos se deja vacío, el resultado permanece en blanco.

Fórmula

El número de combinaciones viene dado por el coeficiente binomial:

${}^{n}C_{r} = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$

Aquí $n!$ (n factorial) es el producto de todos los enteros positivos hasta $n$, de modo que $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$. Por convención $0! = 1$, razón por la cual elegir cero elementos, o elegirlos todos, siempre da exactamente una combinación.

Algunas identidades útiles se siguen directamente de la fórmula:

1. $\binom{n}{0} = 1$ — hay una forma de no elegir nada.
2. $\binom{n}{n} = 1$ — hay una forma de elegirlo todo.
3. $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ — elegir $r$ para conservar es lo mismo que elegir $n-r$ para dejar fuera.

Ejemplos resueltos

1. Ejemplo 1: Elegir 2 elementos de 5. $\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10$.
2. Ejemplo 2: Elegir 3 elementos de 10. $\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!\,7!} = \frac{3628800}{6 \times 5040} = 120$.
3. Ejemplo 3: Elegir los 5 de 5. $\binom{5}{5} = \frac{5!}{5!\,0!} = 1$.
4. Ejemplo 4: Elegir 0 de 5. $\binom{5}{0} = \frac{5!}{0!\,5!} = 1$.

Notas prácticas

• Las combinaciones cuentan selecciones sin orden. Si la disposición importa — por ejemplo, sentar a personas en una fila — usa permutaciones, donde ${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$.
• Los valores crecen rápidamente debido a los factoriales, por lo que incluso entradas modestas pueden dar recuentos muy grandes.
• Las combinaciones sustentan la probabilidad, la distribución binomial, las probabilidades de la lotería, el conteo de manos de cartas y los problemas de diseño combinatorio.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre combinaciones y permutaciones?

En las combinaciones el orden de los elementos elegidos no importa, así que $\{A, B\}$ y $\{B, A\}$ cuentan como una selección. En las permutaciones el orden importa, así que cuentan como dos. Como resultado, siempre hay al menos tantas permutaciones como combinaciones para los mismos $n$ y $r$.

¿Por qué elegir 0 elementos es igual a 1?

Porque $0! = 1$, la fórmula da $\binom{n}{0} = \frac{n!}{0!\,n!} = 1$. Intuitivamente, hay exactamente una forma de no seleccionar nada en absoluto — la selección vacía.

¿Puede r ser mayor que n?

No. No puedes elegir más elementos de los que existen en el conjunto, así que $\binom{n}{r}$ solo está definido para $0 \le r \le n$. Esta calculadora devuelve un resultado en blanco cuando $r > n$.