Calculadora de permutaciones

¿Qué es una calculadora de permutaciones?

Una calculadora de permutaciones le indica cuántas disposiciones ordenadas diferentes puede formar al seleccionar $r$ elementos de un conjunto mayor de $n$ elementos distintos. Como el orden importa, elegir el elemento A y luego el B se cuenta por separado de elegir el B y luego el A.

Las permutaciones aparecen siempre que necesita contar secuencias: asignar medallas de oro, plata y bronce a los corredores, elegir un presidente, un vicepresidente y un tesorero de un club, o calcular cuántas contraseñas u ordenaciones de PIN distintas son posibles.

¿Cómo funciona?

Introduzca el número total de elementos $n$ y cuántos desea ordenar $r$. La calculadora evalúa la fórmula estándar de permutación y devuelve el resultado al instante. Espera números enteros y no negativos, y requiere $r \le n$: no puede ordenar más elementos de los que tiene.

El número de permutaciones de $r$ elementos tomados de $n$ es:

${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$

Aquí $n!$ (que se lee «n factorial») es el producto de todos los enteros positivos hasta $n$, y $0! = 1$ por definición. A diferencia de una combinación, una permutación distingue entre diferentes ordenaciones de la misma selección.

Ejemplos de uso

• n = 5, r = 2. ${}^{5}P_{2} = \frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20$ pares ordenados.
• n = 10, r = 3. ${}^{10}P_{3} = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$ disposiciones.
• n = 5, r = 5. ${}^{5}P_{5} = \frac{5!}{0!} = 120$, que es simplemente $5!$: cada ordenación completa de los cinco elementos.
• n = 5, r = 0. ${}^{5}P_{0} = \frac{5!}{5!} = 1$, la única disposición «vacía».

Si solicita $r > n$ —por ejemplo $n = 3$ y $r = 5$— el resultado se deja en blanco, porque no existe ninguna disposición válida.

Notas prácticas

Cuando el orden no importa, lo que desea es una combinación, que divide el número de permutaciones entre $r!$ para eliminar las ordenaciones duplicadas. El bloque básico de ambas es el factorial, y el crecimiento de estos recuentos está estrechamente relacionado con la multiplicación repetida que se explora en la calculadora de exponentes.

Como los factoriales crecen muy rápido, los recuentos de permutaciones pueden volverse enormes: ${}^{20}P_{20} = 20!$ ya supera $2.4 \times 10^{18}$. Para $n$ grandes, el resultado es una aproximación limitada por la precisión de coma flotante.