Calculadora de valores críticos

¿Qué es un valor crítico?

Un valor crítico es el punto de corte que separa los valores de un estadístico de prueba que conducen a rechazar la hipótesis nula de los que no lo hacen. Después de elegir un nivel de significancia y una dirección de prueba, el valor crítico marca el borde de la región de rechazo. Si tu estadístico calculado cae más allá de ese borde, el resultado es estadísticamente significativo al nivel elegido.

Esta calculadora devuelve el valor crítico para las cuatro distribuciones más habituales en las pruebas de hipótesis: la normal estándar (Z), la t de Student, la chi-cuadrado y la F. Elige la distribución, el tipo de prueba (dos colas, cola derecha o cola izquierda), el nivel de significancia y los grados de libertad cuando la distribución los requiera.

¿Cómo funciona la calculadora?

Todo valor crítico es un cuantil de la función de distribución acumulada de la distribución. Si $F$ es la función de distribución acumulada de la distribución elegida, la función cuantil (inversa) $F^{-1}$ convierte una probabilidad de nuevo en el valor situado en esa probabilidad. La calculadora evalúa $F^{-1}$ en la probabilidad que determinan tu nivel de significancia $\alpha$ y tu dirección de prueba.

Para una distribución simétrica como Z o t, los tres tipos de prueba corresponden a estas probabilidades:

Las distribuciones chi-cuadrado y F no son simétricas, por lo que una prueba de dos colas produce dos límites distintos, uno inferior y uno superior:

Cálculo de los cuantiles

El cuantil normal estándar $\Phi^{-1}$ no tiene forma cerrada, por lo que la calculadora usa una aproximación racional (el método de Acklam), refinada con un paso de Halley, lo que da la normal inversa con precisión doble completa. Los cuantiles de t, chi-cuadrado y F se obtienen invirtiendo numéricamente sus funciones de distribución acumulada, construidas a partir de las funciones beta y gamma incompletas regularizadas.

Ejemplos resueltos

1. Z, dos colas, $\alpha = 0.05$. Reparte el nivel de significancia entre ambas colas y evalúa el cuantil normal en $1 - \tfrac{0.05}{2} = 0.975$: $\Phi^{-1}(0.975) = 1.959964 \approx \pm 1.96$ La región de rechazo es todo lo que esté por debajo de $-1.96$ o por encima de $1.96$.

2. Z, cola derecha, $\alpha = 0.05$. Una sola cola superior: $\Phi^{-1}(0.95) = 1.644854 \approx 1.64$

3. t, cola derecha, $d = 15$, $\alpha = 0.05$. Evalúa el cuantil t en $0.95$ con 15 grados de libertad: $t^{-1}(0.95;\, 15) \approx 1.7531$ La región de rechazo es $(1.7531, \infty)$.

4. t, dos colas, $d = 10$, $\alpha = 0.05$. Evalúa en $0.975$: $t^{-1}(0.975;\, 10) \approx \pm 2.228$

5. Chi-cuadrado, dos colas, $d = 10$, $\alpha = 0.05$. Los límites inferior y superior provienen de $0.025$ y $0.975$: $\chi^{2-1}(0.025;\, 10) \approx 3.247 \qquad \chi^{2-1}(0.975;\, 10) \approx 20.483$

6. F, cola derecha, $d = 5$, $d_2 = 10$, $\alpha = 0.05$. Con 5 grados de libertad del numerador y 10 del denominador: $F^{-1}(0.95;\, 5,\, 10) \approx 3.326$

Notas prácticas

• El nivel de significancia $\alpha$ debe estar estrictamente entre $0$ y $1$. Las elecciones habituales son $0.10$, $0.05$ y $0.01$.
• Usa la distribución Z cuando se conoce la desviación estándar poblacional o la muestra es grande; cambia a la distribución t para muestras pequeñas con desviación estándar estimada.
• La distribución chi-cuadrado se usa para pruebas de varianza y de bondad de ajuste, y la distribución F para comparar dos varianzas o para el análisis de la varianza.
• Los grados de libertad dan forma a las distribuciones t, chi-cuadrado y F. A medida que crecen los grados de libertad de la t, sus valores críticos se acercan a los valores Z correspondientes.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre un valor crítico de una cola y uno de dos colas?

Una prueba de una cola coloca toda la región de rechazo en una sola cola, por lo que usa $F^{-1}(1 - \alpha)$ (derecha) o $F^{-1}(\alpha)$ (izquierda). Una prueba de dos colas reparte $\alpha$ entre ambas colas, alejando cada valor crítico del centro.

¿Por qué el valor crítico de chi-cuadrado necesita grados de libertad?

La distribución chi-cuadrado cambia de forma con sus grados de libertad, de modo que un mismo nivel de significancia corresponde a puntos de corte distintos para diferentes grados de libertad. Lo mismo ocurre con las distribuciones t y F.

¿Cómo se relaciona el valor crítico con el valor p?

Son dos caras de la misma decisión. Rechazas la hipótesis nula cuando el estadístico de prueba supera el valor crítico, que es exactamente cuando el valor p es menor que $\alpha$.

¿Puede un valor crítico ser negativo?

Sí. Un valor crítico Z o t de cola izquierda es negativo porque se sitúa en la cola inferior. Los valores chi-cuadrado y F siempre son no negativos, ya que esas distribuciones solo están definidas para números no negativos.