Calculatrice de l'aire d'un segment circulaire

Qu’est-ce qu’un segment circulaire ?

Un segment circulaire est la région d’un disque délimitée par une corde et l’arc que la corde découpe. Imaginez une part de tarte complète (un secteur), puis retirez le coin triangulaire qui relie les deux extrémités de l’arc au centre — ce qui reste est le segment. C’est la « calotte » courbe située entre la corde et l’arc.

Le segment dépend de deux valeurs : le rayon $r$ du cercle et l’angle central $\theta$ sous-tendu par la corde au centre. L’angle peut être donné en degrés, radians ou grades ; cette calculatrice effectue la conversion en interne.

Concepts clés

• Rayon (r) — la distance depuis le centre du cercle jusqu’à un point sur sa bordure.
• Angle central (θ) — l’angle formé au centre par les deux rayons tracés vers les extrémités de la corde.
• Corde — la ligne droite reliant les deux extrémités de l’arc.
• Arc — la bordure courbe du segment, opposée à la corde.
• Secteur — la région en forme de part de tarte délimitée par l’arc et les deux rayons.
• Triangle — le triangle isocèle dont deux côtés sont égaux à $r$ et dont l’angle inclus est $\theta$.

Comment fonctionne la calculatrice ?

Le segment est ce qui reste lorsque l’on retire le triangle du secteur :

Avec $\theta$ en radians, l’aire du secteur est $\frac{1}{2} r^2 \theta$ et l’aire du triangle isocèle formé par les deux rayons est $\frac{1}{2} r^2 \sin\theta$. La soustraction de l’un par l’autre donne la formule standard.

Formule

Si $\theta$ est en radians :

Si $\theta$ est donné en degrés, il est d’abord converti en radians avec $\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \cdot \frac{\pi}{180}$ avant d’être substitué dans la formule.

Exemples résolus

Exemple 1 : petit segment, 60°

Un cercle a un rayon de 10 cm. La corde découpe un angle central de 60°.

Conversion : $\theta_{\text{rad}} = 60° \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1{,}0472$.

Exemple 2 : demi-cercle, π radians

Pour un rayon de 5 cm et un angle central de $\pi$ radians (180°), la corde est un diamètre et le segment est exactement la moitié du disque :

Exemple 3 : quart de cercle moins triangle, 90°

Pour un rayon de 10 cm et un angle central de 90° :

Cela correspond à l’intuition : le secteur d’un quart a une aire de $25\pi \approx 78{,}54$ cm², le triangle rectangle a une aire de $50$ cm², et la différence est le segment.

Utilisations pratiques

• Ingénierie — calcul des aires de section transversale de réservoirs ou de tuyaux circulaires partiellement remplis pour les problèmes d’écoulement de fluides (c’est le même calcul utilisé par la calculatrice de l’aire d’un cercle lorsqu’une partie seulement est remplie).
• Construction et architecture — dimensionnement de fenêtres, d’arches et de détails en retrait où la calotte courbe d’un cercle est un élément de conception.
• Fabrication — chiffrage des matériaux pour les pièces estampées, découpées ou usinées en forme de calotte circulaire.
• Génie civil — estimation des volumes de terrassement pour les sections transversales de canaux circulaires qui ne sont pas pleins.
• Géométrie et trigonométrie — vérification de la relation avec la calculatrice de l’aire d’un secteur circulaire et la calculatrice de longueur de la corde.

Remarques

• L’angle doit être positif. Un angle de 0° donne un segment dégénéré d’aire nulle.
• Pour $\theta = 2\pi$ (360°), la formule renvoie l’aire du cercle entier.
• Le segment « mineur » correspond aux angles inférieurs à 180°. Pour les angles supérieurs à 180°, la formule donne le segment « majeur » plus grand qui inclut le centre.
• Les unités du rayon et de l’aire doivent être cohérentes : un rayon en mètres produit une aire en mètres carrés. Le sélecteur d’unités reconvertit automatiquement le résultat.
• Le résultat est exact à la précision de $\pi$ et de la fonction sinus près ; les erreurs d’arrondi sont négligeables pour un usage courant.