Calculatrice de combinaisons

Qu’est-ce qu’une calculatrice de combinaisons ?

Une calculatrice de combinaisons détermine de combien de manières différentes vous pouvez choisir un groupe d’éléments dans un ensemble plus grand lorsque l’ordre de sélection n’a pas d’importance. Cette quantité est appelée nombre de combinaisons, notée ${}^{n}C_{r}$, « n parmi r », ou avec le coefficient binomial $\binom{n}{r}$. Ici $n$ est le nombre total d’éléments disponibles et $r$ est le nombre d’éléments que vous choisissez.

Les combinaisons apparaissent dès que seul compte quels éléments se retrouvent ensemble, et non la séquence dans laquelle ils ont été choisis. Choisir 2 garnitures parmi 5 donne la même pizza quelle que soit la garniture que vous nommez en premier, c’est donc un problème de combinaisons. Si l’ordre comptait, vous compteriez plutôt des permutations.

Comment cela fonctionne-t-il ?

Saisissez le nombre total d’éléments $n$ et le nombre que vous souhaitez choisir $r$, et la calculatrice renvoie ${}^{n}C_{r}$ instantanément. Les deux valeurs doivent être des nombres entiers, et $r$ ne peut pas être supérieur à $n$ — vous ne pouvez pas choisir plus d’éléments que vous n’en avez. Si $r > n$, ou si l’un des champs est laissé vide, le résultat reste vide.

Formule

Le nombre de combinaisons est donné par le coefficient binomial :

${}^{n}C_{r} = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$

Ici $n!$ (n factorielle) est le produit de tous les entiers positifs jusqu’à $n$, de sorte que $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$. Par convention $0! = 1$, ce qui explique pourquoi choisir zéro élément, ou les choisir tous, donne toujours exactement une combinaison.

Quelques identités utiles découlent directement de la formule :

1. $\binom{n}{0} = 1$ — il existe une façon de ne rien choisir.
2. $\binom{n}{n} = 1$ — il existe une façon de tout choisir.
3. $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ — choisir $r$ éléments à conserver revient à choisir $n-r$ éléments à laisser de côté.

Exemples résolus

1. Exemple 1 : Choisir 2 éléments parmi 5. $\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10$.
2. Exemple 2 : Choisir 3 éléments parmi 10. $\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!\,7!} = \frac{3628800}{6 \times 5040} = 120$.
3. Exemple 3 : Choisir les 5 parmi 5. $\binom{5}{5} = \frac{5!}{5!\,0!} = 1$.
4. Exemple 4 : Choisir 0 parmi 5. $\binom{5}{0} = \frac{5!}{0!\,5!} = 1$.

Notes pratiques

• Les combinaisons comptent les sélections non ordonnées. Si la disposition compte — par exemple asseoir des personnes en rangée — utilisez les permutations, où ${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$.
• Les valeurs croissent rapidement à cause des factorielles, de sorte que même des entrées modestes peuvent donner des décomptes très grands.
• Les combinaisons sont à la base des probabilités, de la loi binomiale, des chances de loterie, du comptage des mains de cartes et des problèmes de conception combinatoire.

Foire aux questions

Quelle est la différence entre les combinaisons et les permutations ?

Dans les combinaisons, l’ordre des éléments choisis n’a pas d’importance, donc $\{A, B\}$ et $\{B, A\}$ comptent comme une seule sélection. Dans les permutations, l’ordre compte, donc elles comptent comme deux. Par conséquent, il y a toujours au moins autant de permutations que de combinaisons pour les mêmes $n$ et $r$.

Pourquoi choisir 0 élément est-il égal à 1 ?

Parce que $0! = 1$, la formule donne $\binom{n}{0} = \frac{n!}{0!\,n!} = 1$. Intuitivement, il existe exactement une façon de ne rien sélectionner du tout — la sélection vide.

r peut-il être supérieur à n ?

Non. Vous ne pouvez pas choisir plus d’éléments qu’il n’en existe dans l’ensemble, donc $\binom{n}{r}$ n’est défini que pour $0 \le r \le n$. Cette calculatrice renvoie un résultat vide lorsque $r > n$.