Calculatrice de permutations

Qu’est-ce qu’une calculatrice de permutations ?

Une calculatrice de permutations vous indique combien d’arrangements ordonnés différents vous pouvez réaliser en sélectionnant $r$ éléments parmi un ensemble plus grand de $n$ éléments distincts. Comme l’ordre compte, choisir l’élément A puis l’élément B est compté séparément de choisir B puis A.

Les permutations apparaissent chaque fois que vous devez compter des séquences : attribuer les médailles d’or, d’argent et de bronze à des coureurs, choisir un président, un vice-président et un trésorier dans un club, ou déterminer combien de mots de passe ou d’agencements de code PIN distincts sont possibles.

Comment ça marche ?

Saisissez le nombre total d’éléments $n$ et combien vous souhaitez arranger $r$. La calculatrice évalue la formule de permutation standard et renvoie le résultat instantanément. Elle attend des nombres entiers et non négatifs, et exige $r \le n$ : vous ne pouvez pas arranger plus d’éléments que vous n’en avez.

Le nombre de permutations de $r$ éléments pris parmi $n$ est :

${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$

Ici $n!$ (lu « n factorielle ») est le produit de tous les entiers positifs jusqu’à $n$, et $0! = 1$ par définition. Contrairement à une combinaison, une permutation distingue les différents ordres d’une même sélection.

Exemples d’utilisation

• n = 5, r = 2. ${}^{5}P_{2} = \frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20$ paires ordonnées.
• n = 10, r = 3. ${}^{10}P_{3} = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$ arrangements.
• n = 5, r = 5. ${}^{5}P_{5} = \frac{5!}{0!} = 120$, ce qui est simplement $5!$ : tout ordonnancement complet des cinq éléments.
• n = 5, r = 0. ${}^{5}P_{0} = \frac{5!}{5!} = 1$, le seul arrangement « vide ».

Si vous demandez $r > n$ — par exemple $n = 3$ et $r = 5$ — le résultat est laissé vide, car il n’existe aucun arrangement valide.

Remarques pratiques

Lorsque l’ordre ne compte pas, vous voulez plutôt une combinaison, qui divise le nombre de permutations par $r!$ pour supprimer les ordres en double. La brique de base des deux est la factorielle, et la croissance de ces dénombrements est étroitement liée à la multiplication répétée explorée dans la calculatrice d’exposants.

Comme les factorielles croissent très rapidement, les dénombrements de permutations peuvent devenir énormes : ${}^{20}P_{20} = 20!$ dépasse déjà $2.4 \times 10^{18}$. Pour de grands $n$, le résultat est une approximation limitée par la précision en virgule flottante.