Calculatrice de Factorielle

Qu’est-ce qu’une calculatrice de factorielle ?

Une calculatrice de factorielle détermine la factorielle d’un entier non négatif, écrite $n!$ et lue à voix haute « factorielle de n ». La factorielle est le produit de tous les entiers positifs de $1$ jusqu’à $n$ inclus. Saisissez une valeur pour $n$ et la calculatrice renvoie immédiatement $n!$.

Les factorielles croissent extrêmement vite : $5!$ vaut déjà $120$, et $10!$ dépasse trois millions. En raison de cette croissance rapide, les factorielles apparaissent partout en combinatoire, en probabilité, en algèbre et en analyse, chaque fois que vous devez compter le nombre de façons d’arranger des objets.

Comment ça fonctionne ?

La factorielle est définie comme le produit de tous les entiers positifs jusqu’à $n$ :

$n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$

Il existe un cas particulier important. La factorielle de zéro est définie comme étant égale à un :

$0! = 1$

Ce n’est pas un hasard ni une exception ajoutée après coup. Il existe exactement une façon d’arranger zéro objet (l’arrangement vide), de sorte que $0! = 1$ maintient la cohérence des formules de dénombrement. Cela découle aussi de la règle récursive $n! = n \times (n-1)!$ : poser $n = 1$ donne $1! = 1 \times 0!$, ce qui n’est vrai que si $0! = 1$.

Les factorielles ne sont définies que pour les entiers non négatifs. Un nombre négatif ou une fraction comme $2.5$ n’a pas de factorielle ordinaire, donc la calculatrice laisse le résultat vide pour ces entrées. (La fonction gamma étend l’idée à d’autres nombres, mais cela dépasse le cadre d’une factorielle élémentaire.)

Exemples résolus

• $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
• $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$
• $10! = 10 \times 9 \times 8 \times \cdots \times 2 \times 1 = 3{,}628{,}800$
• $1! = 1$
• $0! = 1$

Remarquez le raccourci récursif à l’œuvre : une fois que vous savez que $5! = 120$, calculer $6!$ revient simplement à $6 \times 120 = 720$, et $10!$ se construit de la même manière, étape par étape.

Notes pratiques

Les factorielles sont le moteur des permutations et des combinaisons. Le nombre de façons d’arranger $n$ éléments distincts dans un ordre est $n!$, et les formules des permutations $P(n, r)$ et des combinaisons $C(n, r)$ s’expriment toutes deux à l’aide de factorielles. Si vous comptez des arrangements ou des sélections, consultez la calculatrice de permutations sur https://www.mega-calculator.com/fr/math/permutations/ et la calculatrice de combinaisons sur https://www.mega-calculator.com/fr/math/combinations/.

Comme les factorielles explosent en taille, cette calculatrice accepte des valeurs jusqu’à $170$. Au-delà de ce point, $n!$ dépasse la plus grande valeur finie qu’un nombre informatique standard peut représenter, donc le résultat est laissé vide plutôt que signalé comme infini. Pour le dénombrement courant et les travaux de probabilité, cette plage est largement suffisante.