Calculateur d'aire d'un secteur circulaire

Qu’est-ce qu’un calculateur d’aire d’un secteur circulaire ?

Un secteur circulaire est la portion en forme de coin d’un disque délimitée par deux rayons et l’arc qui les sépare : pensez à une seule part de pizza ou à un morceau découpé dans une tarte ronde. Le calculateur d’aire d’un secteur circulaire détermine la surface plane couverte par ce coin à partir du seul rayon du cercle et de l’angle au centre qui s’ouvre entre les deux bords droits.

La taille d’un secteur n’est qu’une fraction du cercle entier. Un coin de 90° est un quart du disque, un coin de 180° en est la moitié et un « secteur » complet de 360° est le cercle entier. Le calculateur transforme cette intuition en un nombre exact pour n’importe quel rayon et n’importe quel angle, en degrés, en radians ou en grades.

Concepts clés

• Rayon (r) : la distance du centre du cercle à un point quelconque de son bord ; les deux côtés droits du secteur ont cette longueur.
• Angle au centre (θ) : l’angle au centre du cercle, entre les deux rayons qui délimitent le secteur. Un angle plus grand signifie une part plus grande.
• Aire du secteur (A) : la quantité de surface bidimensionnelle enfermée par les deux rayons et l’arc, mesurée en unités de longueur au carré.
• Radian : l’unité d’angle naturelle pour la formule de l’aire. Un cercle complet fait $2\pi$ radians, soit 360 degrés.

Comment fonctionne le calculateur ?

Un secteur occupe la même fraction de l’aire du cercle que celle de son angle dans un tour complet. Comme l’aire du cercle entier est $\pi r^2$, l’aire du secteur est ce total mis à l’échelle par la part de l’angle dans le cercle.

Formules

Lorsque l’angle est donné en degrés, le secteur est la fraction $\frac{\alpha}{360}$ du cercle complet :

Lorsque l’angle est donné en radians, la formule est encore plus simple :

Les deux expriment la même idée : un tour complet ($360°$ ou $2\pi$ radians) redonne l’aire entière du cercle $\pi r^2$. Le calculateur convertit en interne l’unité d’angle que vous choisissez dans la bonne forme, vous pouvez donc mélanger librement les unités.

Exemples résolus

Exemple 1 : rayon 10 cm, angle 90°

Un coin en quart de cercle de rayon 10 cm :

Exemple 2 : rayon 5, angle 2 radians

En utilisant directement la forme en radians :

Exemple 3 : cercle complet

Pour un rayon de 4 et un angle de 360°, le secteur est le disque entier :

Cela correspond au résultat du calculateur d’aire d’un cercle pour le même rayon.

Exemple 4 : angle nul

Pour un angle de 0°, les deux rayons coïncident et le secteur se réduit à une ligne, donc l’aire est $0$.

Usages pratiques

• Conception et fabrication : découpe de goussets circulaires, de pales de ventilateur, d’engrenages ou de panneaux en forme de part où chaque pièce couvre un angle connu.
• Couture et patronage : calcul du tissu d’un pan de jupe évasée ou d’un segment de nappe circulaire ; la même géométrie alimente le calculateur de longueur d’arc pour l’ourlet courbe.
• Architecture et aménagement paysager : tracé de massifs en forme de coin, de sections de place pavée ou de sièges disposés en éventail autour d’une scène centrale.
• Visualisation de données : dimensionnement des parts d’un diagramme circulaire pour que l’aire de chacune soit proportionnelle à son angle.
• Physique et ingénierie : calcul de la surface balayée par un bras rotatif, un essuie-glace ou un balayage radar sur un angle donné.

Remarques

• Le rayon doit être positif et l’angle non négatif pour que le résultat ait un sens.
• Un angle de 0° (ou 0 radian) donne une aire de 0 ; un angle de 360° (ou $2\pi$ radians) donne l’aire entière du cercle $\pi r^2$.
• Le résultat est exprimé en unités carrées de l’unité de longueur choisie ; le calculateur reconvertit automatiquement lorsque vous changez l’unité du rayon ou de l’aire.
• Un secteur est la part comprise entre deux rayons et un arc. Si vous avez plutôt besoin de l’aire entre une corde et l’arc — la partie au-delà de la coupe droite —, utilisez le calculateur d’aire d’un segment circulaire.