Calculateur de valeur critique

Qu’est-ce qu’une valeur critique ?

Une valeur critique est le point de coupure qui sépare les valeurs d’une statistique de test menant au rejet de l’hypothèse nulle de celles qui n’y mènent pas. Une fois que vous avez choisi un seuil de signification et une direction de test, la valeur critique marque la limite de la région de rejet. Si votre statistique calculée dépasse cette limite, le résultat est statistiquement significatif au seuil choisi.

Ce calculateur renvoie la valeur critique pour les quatre lois que l’on rencontre le plus souvent dans les tests d’hypothèse : la loi normale centrée réduite (Z), la loi de Student (t), la loi du khi-deux et la loi de Fisher (F). Choisissez la loi, le type de test (bilatéral, unilatéral à droite ou unilatéral à gauche), le seuil de signification et les degrés de liberté lorsque la loi les exige.

Comment fonctionne le calculateur ?

Toute valeur critique est un quantile de la fonction de répartition de la loi. Si $F$ est la fonction de répartition de la loi choisie, la fonction quantile (réciproque) $F^{-1}$ transforme une probabilité en la valeur située à cette probabilité. Le calculateur évalue $F^{-1}$ à la probabilité dictée par votre seuil de signification $\alpha$ et votre direction de test.

Pour une loi symétrique comme Z ou t, les trois types de test correspondent à ces probabilités :

Les lois du khi-deux et de Fisher ne sont pas symétriques, donc un test bilatéral produit deux limites différentes, une inférieure et une supérieure :

Calcul des quantiles

Le quantile de la loi normale centrée réduite $\Phi^{-1}$ n’a pas de forme close, le calculateur utilise donc une approximation rationnelle (la méthode d’Acklam), affinée par une étape de Halley, ce qui donne la normale inverse en pleine précision double. Les quantiles de t, du khi-deux et de F sont obtenus en inversant numériquement leurs fonctions de répartition, construites à partir des fonctions bêta et gamma incomplètes régularisées.

Exemples résolus

1. Z, bilatéral, $\alpha = 0.05$. Répartissez le seuil de signification sur les deux queues et évaluez le quantile normal en $1 - \tfrac{0.05}{2} = 0.975$ : $\Phi^{-1}(0.975) = 1.959964 \approx \pm 1.96$ La région de rejet est tout ce qui est en dessous de $-1.96$ ou au-dessus de $1.96$.

2. Z, unilatéral à droite, $\alpha = 0.05$. Une seule queue supérieure : $\Phi^{-1}(0.95) = 1.644854 \approx 1.64$

3. t, unilatéral à droite, $d = 15$, $\alpha = 0.05$. Évaluez le quantile t en $0.95$ avec 15 degrés de liberté : $t^{-1}(0.95;\, 15) \approx 1.7531$ La région de rejet est $(1.7531, \infty)$.

4. t, bilatéral, $d = 10$, $\alpha = 0.05$. Évaluez en $0.975$ : $t^{-1}(0.975;\, 10) \approx \pm 2.228$

5. Khi-deux, bilatéral, $d = 10$, $\alpha = 0.05$. Les limites inférieure et supérieure proviennent de $0.025$ et $0.975$ : $\chi^{2-1}(0.025;\, 10) \approx 3.247 \qquad \chi^{2-1}(0.975;\, 10) \approx 20.483$

6. F, unilatéral à droite, $d = 5$, $d_2 = 10$, $\alpha = 0.05$. Avec 5 degrés de liberté au numérateur et 10 au dénominateur : $F^{-1}(0.95;\, 5,\, 10) \approx 3.326$

Notes pratiques

• Le seuil de signification $\alpha$ doit être strictement compris entre $0$ et $1$. Les choix courants sont $0.10$, $0.05$ et $0.01$.
• Utilisez la loi Z lorsque l’écart-type de la population est connu ou que l’échantillon est grand ; passez à la loi t pour les petits échantillons avec un écart-type estimé.
• La loi du khi-deux sert aux tests de variance et d’ajustement, et la loi de Fisher à comparer deux variances ou pour l’analyse de la variance.
• Les degrés de liberté façonnent les lois t, du khi-deux et de Fisher. Lorsque les degrés de liberté de la loi t augmentent, ses valeurs critiques se rapprochent des valeurs Z correspondantes.

FAQ

Quelle est la différence entre une valeur critique unilatérale et bilatérale ?

Un test unilatéral place toute la région de rejet dans une seule queue, il utilise donc $F^{-1}(1 - \alpha)$ (droite) ou $F^{-1}(\alpha)$ (gauche). Un test bilatéral répartit $\alpha$ sur les deux queues, éloignant chaque valeur critique du centre.

Pourquoi la valeur critique du khi-deux a-t-elle besoin de degrés de liberté ?

La loi du khi-deux change de forme avec ses degrés de liberté, de sorte qu’un même seuil de signification correspond à des points de coupure différents pour différents degrés de liberté. Il en va de même pour les lois t et de Fisher.

Quel est le lien entre la valeur critique et la valeur p ?

Ce sont deux facettes d’une même décision. Vous rejetez l’hypothèse nulle lorsque la statistique de test dépasse la valeur critique, ce qui correspond exactement au moment où la valeur p est inférieure à $\alpha$.

Une valeur critique peut-elle être négative ?

Oui. Une valeur critique Z ou t unilatérale à gauche est négative, car elle se situe dans la queue inférieure. Les valeurs du khi-deux et de Fisher sont toujours positives ou nulles, car ces lois ne sont définies que pour les nombres positifs ou nuls.