Calculateur d'écart-type

Qu’est-ce qu’un calculateur d’écart-type ?

Un calculateur d’écart-type mesure à quel point un ensemble de nombres est dispersé autour de sa moyenne. Saisissez vos données et le calculateur indique instantanément l’effectif, la moyenne, la variance et l’écart-type, à la fois pour une interprétation en population et en échantillon de vos données. Un écart-type faible signifie que les valeurs se regroupent étroitement autour de la moyenne ; un écart-type élevé signifie qu’elles sont largement dispersées.

L’écart-type est l’une des mesures de dispersion les plus utilisées en statistique. Il apparaît partout, du contrôle qualité et de la finance (où on l’appelle souvent volatilité) à l’analyse des résultats de tests et à la recherche scientifique, car il exprime la variabilité dans les mêmes unités que les données d’origine.

Population contre échantillon

Il existe deux versions étroitement liées de la variance et de l’écart-type, et choisir la bonne est important.

• Les statistiques de population décrivent un ensemble de données complet : chaque membre qui vous intéresse est inclus. La variance de population divise la somme des écarts au carré par l’effectif $N$, et ses symboles sont $\sigma^2$ (variance) et $\sigma$ (écart-type).
• Les statistiques d’échantillon décrivent un sous-ensemble plus petit tiré d’une population plus large, et vous voulez estimer la dispersion de toute cette population à partir de l’échantillon. La variance d’échantillon divise par $n - 1$ au lieu de $n$ (ce qu’on appelle la correction de Bessel), ce qui corrige le biais qui apparaît lorsqu’on utilise la moyenne de l’échantillon au lieu de la vraie moyenne inconnue. Ses symboles sont $s^2$ (variance) et $s$ (écart-type).

Comme diviser par le plus petit $n - 1$ produit un résultat légèrement plus grand, l’écart-type d’échantillon est toujours supérieur ou égal à l’écart-type de population pour les mêmes données. La version échantillon nécessite au moins deux données ; avec une seule valeur, il n’y a aucune dispersion à estimer.

Comment fonctionne-t-il ?

L’écart-type de population est la racine carrée de la distance moyenne au carré de chaque valeur par rapport à la moyenne :

où $\mu$ est la moyenne de la population et $N$ le nombre de valeurs. L’écart-type d’échantillon utilise la moyenne de l’échantillon $\bar{x}$ et divise par $n - 1$ :

Le calcul suit quatre étapes :

1. Trouvez la moyenne en additionnant toutes les valeurs et en divisant par leur nombre.
2. Trouvez chaque écart en soustrayant la moyenne de chaque valeur.
3. Élevez au carré chaque écart et additionnez les carrés.
4. Divisez par $N$ (population) ou $n - 1$ (échantillon), puis prenez la racine carrée pour obtenir l’écart-type. Omettre la racine carrée vous laisse avec la variance.

Exemple résolu

Considérons l’ensemble de données $2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$, qui comporte $N = 8$ valeurs.

D’abord, la moyenne :

Ensuite, les écarts au carré par rapport à la moyenne de $5$ sont $9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16$, dont la somme vaut $32$. La variance et l’écart-type de population sont :

En traitant les mêmes nombres comme un échantillon, divisez la somme des carrés par $n - 1 = 7$ :

Comme prévu, l’écart-type d’échantillon $2.1381$ est plus grand que l’écart-type de population $2$.

Pour un ensemble plus petit comme $1, 2, 3, 4, 5$, la moyenne est $3$, la somme des écarts au carré est $10$, l’écart-type de population est $\sqrt{2} \approx 1.4142$ et l’écart-type d’échantillon est $\sqrt{2.5} \approx 1.5811$.

Notes pratiques

Utilisez la formule de population lorsque vos nombres représentent l’ensemble du groupe que vous analysez, par exemple les résultats de chaque élève d’une seule classe lorsque cette classe est tout ce qui vous intéresse. Utilisez la formule d’échantillon lorsque vos nombres sont un sous-ensemble servant à déduire quelque chose sur un groupe plus large, ce qui est le cas courant dans les enquêtes, les expériences et la plupart des statistiques du monde réel.

L’écart-type se combine naturellement avec la moyenne et avec les estimations par intervalle comme l’intervalle de confiance, qui utilise l’écart-type et la taille de l’échantillon pour encadrer la vraie moyenne. Il sous-tend aussi les valeurs critiques utilisées dans les tests d’hypothèse.

Foire aux questions

Quelle est la différence entre variance et écart-type ?

La variance est la moyenne des écarts au carré par rapport à la moyenne, exprimée en unités au carré. L’écart-type est la racine carrée de la variance, qui ramène la mesure aux unités d’origine des données et la rend plus facile à interpréter.

Dois-je utiliser l’écart-type de population ou d’échantillon ?

Utilisez la version de population ($\sigma$, diviser par $N$) lorsque vos données couvrent l’ensemble du groupe d’intérêt. Utilisez la version d’échantillon ($s$, diviser par $n - 1$) lorsque vos données sont un échantillon d’une population plus large et que vous voulez une estimation non biaisée de la dispersion de cette population.

L’écart-type peut-il être nul ou négatif ?

Il peut être nul, ce qui ne se produit que lorsque toutes les valeurs de l’ensemble de données sont identiques : il n’y a aucune dispersion. Il ne peut jamais être négatif, car il est la racine carrée d’une somme de termes au carré (non négatifs).