Kalkulator Kombinasi

Apa itu kalkulator kombinasi?

Kalkulator kombinasi menghitung berapa banyak cara berbeda Anda dapat memilih sekelompok item dari himpunan yang lebih besar ketika urutan pemilihan tidak penting. Besaran ini disebut jumlah kombinasi, ditulis sebagai ${}^{n}C_{r}$, “n pilih r”, atau dengan koefisien binomial $\binom{n}{r}$. Di sini $n$ adalah jumlah total item yang tersedia dan $r$ adalah berapa banyak item yang Anda pilih.

Kombinasi muncul setiap kali Anda hanya peduli pada item mana yang akhirnya berkumpul bersama, bukan urutan pemilihannya. Memilih 2 topping dari 5 menghasilkan pizza yang sama tidak peduli topping mana yang Anda sebut lebih dulu, jadi ini adalah masalah kombinasi. Jika urutan penting, Anda akan menghitung permutasi sebagai gantinya.

Bagaimana cara kerjanya?

Masukkan jumlah total item $n$ dan jumlah yang ingin Anda pilih $r$, dan kalkulator akan mengembalikan ${}^{n}C_{r}$ secara instan. Kedua nilai harus berupa bilangan bulat, dan $r$ tidak boleh lebih besar dari $n$ — Anda tidak dapat memilih lebih banyak item daripada yang Anda miliki. Jika $r > n$, atau salah satu kolom dibiarkan kosong, hasilnya tetap kosong.

Rumus

Jumlah kombinasi diberikan oleh koefisien binomial:

${}^{n}C_{r} = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$

Di sini $n!$ (n faktorial) adalah hasil kali semua bilangan bulat positif hingga $n$, sehingga $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$. Berdasarkan konvensi $0! = 1$, itulah sebabnya memilih nol item, atau memilih semuanya, selalu menghasilkan tepat satu kombinasi.

Beberapa identitas berguna mengikuti langsung dari rumus:

1. $\binom{n}{0} = 1$ — ada satu cara untuk tidak memilih apa pun.
2. $\binom{n}{n} = 1$ — ada satu cara untuk memilih semuanya.
3. $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ — memilih $r$ untuk disimpan sama dengan memilih $n-r$ untuk ditinggalkan.

Contoh soal

1. Contoh 1: Pilih 2 item dari 5. $\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10$.
2. Contoh 2: Pilih 3 item dari 10. $\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!\,7!} = \frac{3628800}{6 \times 5040} = 120$.
3. Contoh 3: Pilih semua 5 dari 5. $\binom{5}{5} = \frac{5!}{5!\,0!} = 1$.
4. Contoh 4: Pilih 0 dari 5. $\binom{5}{0} = \frac{5!}{0!\,5!} = 1$.

Catatan praktis

• Kombinasi menghitung pemilihan tanpa urutan. Jika susunan penting — misalnya menempatkan orang dalam satu baris — gunakan permutasi, di mana ${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$.
• Nilainya tumbuh dengan cepat karena faktorial, sehingga bahkan masukan yang sederhana dapat menghasilkan jumlah yang sangat besar.
• Kombinasi mendasari probabilitas, distribusi binomial, peluang lotre, penghitungan kartu di tangan, dan masalah desain kombinatorial.

Pertanyaan yang sering diajukan

Apa perbedaan antara kombinasi dan permutasi?

Dalam kombinasi urutan item yang dipilih tidak penting, sehingga $\{A, B\}$ dan $\{B, A\}$ dihitung sebagai satu pemilihan. Dalam permutasi urutan penting, sehingga keduanya dihitung sebagai dua. Akibatnya, selalu ada setidaknya sebanyak permutasi seperti kombinasi untuk $n$ dan $r$ yang sama.

Mengapa memilih 0 item sama dengan 1?

Karena $0! = 1$, rumus menghasilkan $\binom{n}{0} = \frac{n!}{0!\,n!} = 1$. Secara intuitif, ada tepat satu cara untuk tidak memilih apa pun sama sekali — pemilihan kosong.

Bisakah r lebih besar dari n?

Tidak. Anda tidak dapat memilih lebih banyak item daripada yang ada dalam himpunan, sehingga $\binom{n}{r}$ hanya terdefinisi untuk $0 \le r \le n$. Kalkulator ini mengembalikan hasil kosong ketika $r > n$.