Kalkulator Nilai Kritis

Apa itu nilai kritis?

Nilai kritis adalah titik batas yang memisahkan nilai-nilai statistik uji yang menyebabkan penolakan hipotesis nol dari nilai-nilai yang tidak. Setelah Anda memilih tingkat signifikansi dan arah uji, nilai kritis menandai tepi daerah penolakan. Jika statistik yang Anda hitung jatuh melampaui tepi itu, hasilnya signifikan secara statistik pada tingkat yang dipilih.

Kalkulator ini mengembalikan nilai kritis untuk empat distribusi yang paling sering Anda temui dalam uji hipotesis: normal standar (Z), t-Student, chi-kuadrat, dan F. Pilih distribusi, jenis uji (dua arah, arah kanan, atau arah kiri), tingkat signifikansi, dan derajat kebebasan jika distribusi membutuhkannya.

Bagaimana cara kerja kalkulator ini?

Setiap nilai kritis adalah kuantil dari fungsi distribusi kumulatif distribusi tersebut. Jika $F$ adalah fungsi distribusi kumulatif dari distribusi yang dipilih, fungsi kuantil (invers) $F^{-1}$ mengubah suatu probabilitas kembali menjadi nilai yang berada pada probabilitas itu. Kalkulator mengevaluasi $F^{-1}$ pada probabilitas yang ditentukan oleh tingkat signifikansi $\alpha$ dan arah uji Anda.

Untuk distribusi simetris seperti Z atau t, ketiga jenis uji dipetakan ke probabilitas berikut:

Distribusi chi-kuadrat dan F tidak simetris, sehingga uji dua arah menghasilkan dua batas berbeda, satu bawah dan satu atas:

Menghitung kuantil

Kuantil normal standar $\Phi^{-1}$ tidak memiliki bentuk tertutup, jadi kalkulator menggunakan aproksimasi rasional (metode Acklam), disempurnakan dengan satu langkah Halley, sehingga menghasilkan invers normal dengan presisi ganda penuh. Kuantil t, chi-kuadrat, dan F ditemukan dengan membalik fungsi distribusi kumulatifnya secara numerik, yang dibangun dari fungsi beta dan gamma tak lengkap yang diregularisasi.

Contoh terselesaikan

1. Z, dua arah, $\alpha = 0.05$. Bagi tingkat signifikansi ke kedua ekor dan evaluasi kuantil normal pada $1 - \tfrac{0.05}{2} = 0.975$: $\Phi^{-1}(0.975) = 1.959964 \approx \pm 1.96$ Daerah penolakan adalah segala sesuatu di bawah $-1.96$ atau di atas $1.96$.

2. Z, arah kanan, $\alpha = 0.05$. Satu ekor atas: $\Phi^{-1}(0.95) = 1.644854 \approx 1.64$

3. t, arah kanan, $d = 15$, $\alpha = 0.05$. Evaluasi kuantil t pada $0.95$ dengan 15 derajat kebebasan: $t^{-1}(0.95;\, 15) \approx 1.7531$ Daerah penolakan adalah $(1.7531, \infty)$.

4. t, dua arah, $d = 10$, $\alpha = 0.05$. Evaluasi pada $0.975$: $t^{-1}(0.975;\, 10) \approx \pm 2.228$

5. Chi-kuadrat, dua arah, $d = 10$, $\alpha = 0.05$. Batas bawah dan atas berasal dari $0.025$ dan $0.975$: $\chi^{2-1}(0.025;\, 10) \approx 3.247 \qquad \chi^{2-1}(0.975;\, 10) \approx 20.483$

6. F, arah kanan, $d = 5$, $d_2 = 10$, $\alpha = 0.05$. Dengan 5 derajat kebebasan pembilang dan 10 penyebut: $F^{-1}(0.95;\, 5,\, 10) \approx 3.326$

Catatan praktis

• Tingkat signifikansi $\alpha$ harus berada tegas antara $0$ dan $1$. Pilihan umum adalah $0.10$, $0.05$, dan $0.01$.
• Gunakan distribusi Z ketika simpangan baku populasi diketahui atau sampel besar; beralih ke distribusi t untuk sampel kecil dengan simpangan baku yang diestimasi.
• Distribusi chi-kuadrat digunakan untuk uji varians dan kecocokan, dan distribusi F untuk membandingkan dua varians atau untuk analisis varians.
• Derajat kebebasan membentuk distribusi t, chi-kuadrat, dan F. Saat derajat kebebasan t bertambah, nilai kritisnya mendekati nilai Z yang sesuai.

Pertanyaan yang sering diajukan

Apa perbedaan antara nilai kritis satu arah dan dua arah?

Uji satu arah menempatkan seluruh daerah penolakan pada satu ekor, sehingga menggunakan $F^{-1}(1 - \alpha)$ (kanan) atau $F^{-1}(\alpha)$ (kiri). Uji dua arah membagi $\alpha$ ke kedua ekor, mendorong setiap nilai kritis menjauh dari pusat.

Mengapa nilai kritis chi-kuadrat membutuhkan derajat kebebasan?

Distribusi chi-kuadrat berubah bentuk seiring derajat kebebasannya, sehingga satu tingkat signifikansi berpadanan dengan titik batas yang berbeda untuk derajat kebebasan yang berbeda. Hal yang sama berlaku untuk distribusi t dan F.

Bagaimana hubungan nilai kritis dengan nilai p?

Keduanya adalah dua sisi dari keputusan yang sama. Anda menolak hipotesis nol ketika statistik uji melebihi nilai kritis, yang persis terjadi ketika nilai p lebih kecil dari $\alpha$.

Bisakah nilai kritis bernilai negatif?

Bisa. Nilai kritis Z atau t arah kiri bernilai negatif karena berada di ekor bawah. Nilai chi-kuadrat dan F selalu tak negatif, karena distribusi tersebut hanya terdefinisi untuk bilangan tak negatif.