Kalkulator Simpangan Baku

Apa itu kalkulator simpangan baku?

Kalkulator simpangan baku mengukur seberapa tersebar sekumpulan angka di sekitar rata-ratanya. Masukkan titik-titik data Anda dan kalkulator langsung melaporkan jumlah data, rata-rata, varians, dan simpangan baku — baik untuk interpretasi populasi maupun sampel dari data Anda. Simpangan baku kecil berarti nilai-nilai mengelompok rapat di sekitar rata-rata; simpangan baku besar berarti nilai-nilai tersebar luas.

Simpangan baku adalah salah satu ukuran sebaran yang paling banyak digunakan dalam statistika. Ia muncul di mana-mana, mulai dari kendali mutu dan keuangan (yang sering disebut volatilitas) hingga analisis nilai ujian dan penelitian ilmiah, karena ia menyatakan variabilitas dalam satuan yang sama dengan data aslinya.

Populasi versus sampel

Ada dua versi varians dan simpangan baku yang berkaitan erat, dan memilih yang tepat itu penting.

• Statistik populasi menggambarkan kumpulan data yang lengkap — setiap anggota yang Anda perhatikan tercakup. Varians populasi membagi jumlah kuadrat simpangan dengan jumlah data $N$, dan simbolnya adalah $\sigma^2$ (varians) dan $\sigma$ (simpangan baku).
• Statistik sampel menggambarkan himpunan bagian yang lebih kecil yang diambil dari populasi yang lebih besar, dan Anda ingin menaksir sebaran seluruh populasi itu dari sampel. Varians sampel membagi dengan $n - 1$ alih-alih $n$ (ini dikenal sebagai koreksi Bessel), yang mengoreksi bias yang muncul karena menggunakan rata-rata sampel alih-alih rata-rata sebenarnya yang tidak diketahui. Simbolnya adalah $s^2$ (varians) dan $s$ (simpangan baku).

Karena membagi dengan $n - 1$ yang lebih kecil menghasilkan nilai yang sedikit lebih besar, simpangan baku sampel selalu lebih besar dari atau sama dengan simpangan baku populasi untuk data yang sama. Versi sampel memerlukan setidaknya dua titik data; dengan satu nilai tunggal tidak ada sebaran untuk ditaksir.

Bagaimana cara kerjanya?

Simpangan baku populasi adalah akar kuadrat dari rata-rata kuadrat jarak setiap nilai dari rata-rata:

$$\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2}$$

dengan $\mu$ adalah rata-rata populasi dan $N$ adalah banyaknya nilai. Simpangan baku sampel menggunakan rata-rata sampel $\bar{x}$ dan membagi dengan $n - 1$:

$$s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$$

Perhitungan mengikuti empat langkah:

1. Cari rata-rata dengan menjumlahkan semua nilai dan membaginya dengan banyaknya nilai.
2. Cari setiap simpangan dengan mengurangkan rata-rata dari setiap nilai.
3. Kuadratkan setiap simpangan lalu jumlahkan kuadrat-kuadratnya.
4. Bagi dengan $N$ (populasi) atau $n - 1$ (sampel), lalu ambil akar kuadrat untuk memperoleh simpangan baku. Melewatkan akar kuadrat menyisakan varians.

Contoh terselesaikan

Tinjau kumpulan data $2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$, yang memiliki $N = 8$ nilai.

Pertama, rata-ratanya:

$$\mu = \frac{2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9}{8} = \frac{40}{8} = 5$$

Selanjutnya, kuadrat simpangan dari rata-rata $5$ adalah $9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16$, yang berjumlah $32$. Varians dan simpangan baku populasi adalah:

$$\sigma^2 = \frac{32}{8} = 4 \qquad \sigma = \sqrt{4} = 2$$

Dengan memperlakukan angka yang sama sebagai sampel, bagi jumlah kuadrat dengan $n - 1 = 7$:

$$s^2 = \frac{32}{7} \approx 4.5714 \qquad s = \sqrt{4.5714} \approx 2.1381$$

Seperti yang diharapkan, simpangan baku sampel $2.1381$ lebih besar daripada simpangan baku populasi $2$.

Untuk kumpulan yang lebih kecil seperti $1, 2, 3, 4, 5$, rata-ratanya adalah $3$, jumlah kuadrat simpangannya adalah $10$, simpangan baku populasinya adalah $\sqrt{2} \approx 1.4142$, dan simpangan baku sampelnya adalah $\sqrt{2.5} \approx 1.5811$.

Catatan praktis

Gunakan rumus populasi ketika angka-angka Anda mewakili keseluruhan kelompok yang Anda analisis — misalnya nilai ujian setiap siswa dalam satu kelas ketika kelas itu adalah satu-satunya yang Anda perhatikan. Gunakan rumus sampel ketika angka-angka Anda adalah himpunan bagian yang digunakan untuk menyimpulkan sesuatu tentang kelompok yang lebih besar, yang merupakan kasus umum dalam survei, eksperimen, dan sebagian besar statistika dunia nyata.

Simpangan baku berpasangan secara alami dengan rata-rata dan dengan taksiran interval seperti interval kepercayaan, yang menggunakan simpangan baku dan ukuran sampel untuk membatasi rata-rata sebenarnya. Ia juga mendasari nilai kritis yang digunakan dalam pengujian hipotesis.

Pertanyaan yang sering diajukan

Apa perbedaan antara varians dan simpangan baku?

Varians adalah rata-rata dari kuadrat simpangan terhadap rata-rata, dinyatakan dalam satuan kuadrat. Simpangan baku adalah akar kuadrat dari varians, yang mengembalikan ukuran ke satuan asli data dan membuatnya lebih mudah ditafsirkan.

Haruskah saya menggunakan simpangan baku populasi atau sampel?

Gunakan versi populasi ($\sigma$, bagi dengan $N$) ketika data Anda mencakup keseluruhan kelompok yang diminati. Gunakan versi sampel ($s$, bagi dengan $n - 1$) ketika data Anda adalah sampel dari populasi yang lebih besar dan Anda menginginkan taksiran tak bias dari sebaran populasi tersebut.

Bisakah simpangan baku bernilai nol atau negatif?

Ia bisa bernilai nol, yang hanya terjadi ketika setiap nilai dalam kumpulan data identik — tidak ada sebaran. Ia tidak pernah bisa negatif, karena ia adalah akar kuadrat dari jumlah suku-suku kuadrat (tak negatif).