Calcolatrice dell'area di un segmento circolare

Cos’è un segmento circolare?

Un segmento circolare è la regione di un disco delimitata da una corda e dall’arco che la corda taglia. Immagina una fetta intera di torta (un settore) e poi rimuovi il cuneo triangolare che collega i due estremi dell’arco al centro — ciò che resta è il segmento. È la “calotta” curva situata tra la corda e l’arco.

Il segmento dipende da due valori: il raggio $r$ del cerchio e l’angolo centrale $\theta$ sotteso dalla corda al centro. L’angolo può essere espresso in gradi, radianti o gradi centesimali; questa calcolatrice esegue internamente la conversione.

Concetti chiave

• Raggio (r) — la distanza dal centro del cerchio a un punto sul suo perimetro.
• Angolo centrale (θ) — l’angolo formato al centro dai due raggi tracciati verso gli estremi della corda.
• Corda — la linea retta che collega i due estremi dell’arco.
• Arco — il bordo curvo del segmento, opposto alla corda.
• Settore — la regione a forma di fetta di torta delimitata dall’arco e dai due raggi.
• Triangolo — il triangolo isoscele con due lati uguali a $r$ e angolo compreso $\theta$.

Come funziona la calcolatrice?

Il segmento è ciò che resta quando il triangolo viene rimosso dal settore:

Con $\theta$ in radianti, l’area del settore è $\frac{1}{2} r^2 \theta$ e l’area del triangolo isoscele formato dai due raggi è $\frac{1}{2} r^2 \sin\theta$. Sottraendo l’una dall’altra si ottiene la formula standard.

Formula

Se $\theta$ è in radianti:

Se $\theta$ è espresso in gradi, viene prima convertito in radianti con $\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \cdot \frac{\pi}{180}$ prima di essere sostituito nella formula.

Esempi svolti

Esempio 1: piccolo segmento, 60°

Un cerchio ha un raggio di 10 cm. La corda taglia un angolo centrale di 60°.

Conversione: $\theta_{\text{rad}} = 60° \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1{,}0472$.

Esempio 2: semicerchio, π radianti

Per un raggio di 5 cm e un angolo centrale di $\pi$ radianti (180°), la corda è un diametro e il segmento è esattamente la metà del disco:

Esempio 3: quarto di cerchio meno triangolo, 90°

Per un raggio di 10 cm e un angolo centrale di 90°:

Questo conferma l’intuizione: il settore quarto ha un’area di $25\pi \approx 78{,}54$ cm², il triangolo rettangolo ha un’area di $50$ cm², e la differenza è il segmento.

Usi pratici

• Ingegneria — calcolare le aree di sezione trasversale di serbatoi o tubi circolari parzialmente riempiti per problemi di flusso di fluidi (è lo stesso calcolo utilizzato dalla calcolatrice dell’area del cerchio quando solo una porzione è riempita).
• Costruzione e architettura — dimensionare finestre, archi e dettagli incassati dove la calotta curva di un cerchio è un elemento di design.
• Produzione — preventivare materiale per pezzi stampati, tagliati o lavorati a macchina sagomati come una calotta circolare.
• Ingegneria civile — stimare i volumi di sterro per sezioni trasversali di canali circolari non pieni.
• Geometria e trigonometria — verificare la relazione con la calcolatrice dell’area del settore circolare e la calcolatrice della lunghezza della corda.

Note

• L’angolo deve essere positivo. Un angolo di 0° dà un segmento degenere di area zero.
• Per $\theta = 2\pi$ (360°), la formula restituisce l’area dell’intero cerchio.
• Il segmento “minore” corrisponde ad angoli inferiori a 180°. Per angoli superiori a 180°, la formula dà il segmento “maggiore” più grande che include il centro.
• Le unità del raggio e dell’area devono essere coerenti: un raggio in metri produce un’area in metri quadrati. Il selettore di unità riconverte automaticamente il risultato.
• Il risultato è esatto fino alla precisione di $\pi$ e della funzione seno; gli errori di arrotondamento sono trascurabili per l’uso quotidiano.