Calcolatrice delle combinazioni

Che cos’è una calcolatrice delle combinazioni?

Una calcolatrice delle combinazioni determina in quanti modi diversi è possibile scegliere un gruppo di elementi da un insieme più grande quando l’ordine di selezione non ha importanza. Questa quantità è chiamata numero di combinazioni, scritta come ${}^{n}C_{r}$, “n su r”, o con il coefficiente binomiale $\binom{n}{r}$. Qui $n$ è il numero totale di elementi disponibili e $r$ è quanti di essi si scelgono.

Le combinazioni compaiono ogni volta che ci interessa solo quali elementi finiscono insieme, non la sequenza in cui sono stati scelti. Scegliere 2 ingredienti su 5 dà la stessa pizza indipendentemente da quale ingrediente si nomina per primo, quindi è un problema di combinazioni. Se l’ordine contasse, si conterebbero invece le permutazioni.

Come funziona?

Inserisci il numero totale di elementi $n$ e il numero che vuoi scegliere $r$, e la calcolatrice restituisce ${}^{n}C_{r}$ immediatamente. Entrambi i valori devono essere numeri interi, e $r$ non può essere maggiore di $n$ — non puoi scegliere più elementi di quanti ne hai. Se $r > n$, o se uno dei campi viene lasciato vuoto, il risultato rimane vuoto.

Formula

Il numero di combinazioni è dato dal coefficiente binomiale:

${}^{n}C_{r} = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$

Qui $n!$ (n fattoriale) è il prodotto di tutti i numeri interi positivi fino a $n$, quindi $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$. Per convenzione $0! = 1$, motivo per cui scegliere zero elementi, o sceglierli tutti, dà sempre esattamente una combinazione.

Alcune identità utili derivano direttamente dalla formula:

1. $\binom{n}{0} = 1$ — c’è un solo modo per non scegliere nulla.
2. $\binom{n}{n} = 1$ — c’è un solo modo per scegliere tutto.
3. $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ — scegliere $r$ elementi da tenere equivale a scegliere $n-r$ elementi da lasciare fuori.

Esempi svolti

1. Esempio 1: Scegliere 2 elementi su 5. $\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10$.
2. Esempio 2: Scegliere 3 elementi su 10. $\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!\,7!} = \frac{3628800}{6 \times 5040} = 120$.
3. Esempio 3: Scegliere tutti e 5 su 5. $\binom{5}{5} = \frac{5!}{5!\,0!} = 1$.
4. Esempio 4: Scegliere 0 su 5. $\binom{5}{0} = \frac{5!}{0!\,5!} = 1$.

Note pratiche

• Le combinazioni contano le selezioni non ordinate. Se la disposizione conta — ad esempio far sedere persone in fila — usa le permutazioni, dove ${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$.
• I valori crescono rapidamente a causa dei fattoriali, quindi anche input modesti possono dare conteggi molto grandi.
• Le combinazioni sono alla base della probabilità, della distribuzione binomiale, delle probabilità della lotteria, del conteggio delle mani di carte e dei problemi di progettazione combinatoria.

Domande frequenti

Qual è la differenza tra combinazioni e permutazioni?

Nelle combinazioni l’ordine degli elementi scelti non ha importanza, quindi $\{A, B\}$ e $\{B, A\}$ contano come una sola selezione. Nelle permutazioni l’ordine conta, quindi contano come due. Di conseguenza, ci sono sempre almeno tante permutazioni quante combinazioni per gli stessi $n$ e $r$.

Perché scegliere 0 elementi è uguale a 1?

Poiché $0! = 1$, la formula dà $\binom{n}{0} = \frac{n!}{0!\,n!} = 1$. Intuitivamente, c’è esattamente un modo per non selezionare nulla — la selezione vuota.

r può essere maggiore di n?

No. Non puoi scegliere più elementi di quanti ne esistono nell’insieme, quindi $\binom{n}{r}$ è definito solo per $0 \le r \le n$. Questa calcolatrice restituisce un risultato vuoto quando $r > n$.