Calcolatore di permutazioni

Che cos’è un calcolatore di permutazioni?

Un calcolatore di permutazioni ti dice quante diverse disposizioni ordinate puoi creare selezionando $r$ elementi da un insieme più grande di $n$ elementi distinti. Poiché l’ordine conta, scegliere l’elemento A e poi B viene conteggiato separatamente dalla scelta di B e poi A.

Le permutazioni compaiono ogni volta che devi contare sequenze: assegnare medaglie d’oro, d’argento e di bronzo ai corridori, scegliere un presidente, un vicepresidente e un tesoriere da un club, oppure calcolare quante password o sequenze di PIN distinte sono possibili.

Come funziona?

Inserisci il numero totale di elementi $n$ e quanti ne vuoi disporre $r$. Il calcolatore valuta la formula standard di permutazione e restituisce il risultato istantaneamente. Si aspetta numeri interi e non negativi e richiede $r \le n$: non puoi disporre più elementi di quanti ne hai.

Il numero di permutazioni di $r$ elementi presi da $n$ è:

${}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$

Qui $n!$ (letto “n fattoriale”) è il prodotto di tutti gli interi positivi fino a $n$, e $0! = 1$ per definizione. A differenza di una combinazione, una permutazione distingue tra diversi ordinamenti della stessa selezione.

Esempi di utilizzo

• n = 5, r = 2. ${}^{5}P_{2} = \frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20$ coppie ordinate.
• n = 10, r = 3. ${}^{10}P_{3} = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$ disposizioni.
• n = 5, r = 5. ${}^{5}P_{5} = \frac{5!}{0!} = 120$, che è semplicemente $5!$ — ogni ordinamento completo di tutti e cinque gli elementi.
• n = 5, r = 0. ${}^{5}P_{0} = \frac{5!}{5!} = 1$, l’unica disposizione “vuota”.

Se richiedi $r > n$ — ad esempio $n = 3$ e $r = 5$ — il risultato viene lasciato vuoto, perché non esiste alcuna disposizione valida.

Note pratiche

Quando l’ordine non conta, vuoi invece una combinazione, che divide il numero di permutazioni per $r!$ per rimuovere gli ordinamenti duplicati. Il mattone di base di entrambe è il fattoriale, e la crescita di questi conteggi è strettamente legata alla moltiplicazione ripetuta esplorata nel calcolatore di esponenti.

Poiché i fattoriali crescono molto rapidamente, i conteggi delle permutazioni possono diventare enormi: ${}^{20}P_{20} = 20!$ supera già $2.4 \times 10^{18}$. Per grandi $n$ il risultato è un’approssimazione limitata dalla precisione in virgola mobile.